Th6f(x)∈k|ab,Vx∈[ab]有f(x)20(或f(x)≤0)则 f(x)dr20(或f(x)dtx≤0) 证明:∑f(5)△x.20 由f(x)在[ab]上可积与极限保号性→ ∫f(x)x=im∑/(x20 Th7.f(x,g(x)∈kab],x∈a1b有f(x)≤g(x,则 f(x)k≤「g(x) Th8.f(x)∈kab→f(x)∈kab]且 ∫f(x)x|J(xk 推论f(x)∈kabf(x)|≤k(cons)则 f(x)dx≤k(b 二.积分中值定理 Th9.f(x)∈Clab]则彐c∈[ab]使 f(x)dx=f(c)(b-a) 证明:已知f(x)∈CIab],则fx)在[ab上必取到最大最小值, m≤f(x)≤M a<x≤b 由Th7与Thl有 m(ba)≤∫f(x) dx <M(b-a) f( 由介值定理得到在[ab]内至少彐一c,使Th6 f(x)  k[a,b],  x  [a,b]有 f(x)  0 (或 f(x)  0) 则  b a f (x)dx  ０(或  b a f (x)dx  ０) 证明： =  n k k f k x 1 ( )  ０ 由 f(x)在［a,b］上可积与极限保号性   b a f (x)dx ＝ lim l(T )→0 =  n k k f k x 1 ( )  ０ Th7. f(x),g(x)  k[a,b],  x  [a,b]有 f(x)  g(x)，则  b a f (x)dx   b a g(x)dx Th8. f(x)  k[a,b]  f (x)  k[a,b]且  b a f (x)dx   b a f (x)dx 推论 f(x)  k[a,b] f(x)  k(const)则  b a f (x)dx  k(b-c) 二．积分中值定理 Th9. f(x)  C[a,b].则  c  [a,b]使  b a f (x)dx ＝f(c)(b-a) 证明：已知 f(x)  C[a,b]，则 f(x)在[a,b]上必取到最大最小值， m  f(x)  M a  x  b 由 Th7 与 Th1 有 m(b-a)   b a f (x)dx  M(b-a) 或 m  b − a 1  b a f (x)dx  M 由介值定理 得到在［a,b］内至少 一 c,使