北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说,影响红移的有两种因素: 1.光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候,这个 表现为度规的比值 2.光线运动的路 2.1多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t,x,y,z),A的静止参考系为(t,x,y,2);B的坐标为(t,0,0,0),A的两组 坐标为(t,d,0,0)和(,0,0,0),且t=0时x=d和t=0。在B的静止参考系中,光 源A以=dx/t的速度运动,总可以取适当坐标系使v2=0,且x的方向恰好沿 着BA方向。在A的静止参考系中A点固有时d=dt,而在B的参考系中,A点固有 时dr=dt-dx2=(1-2)d。对于时空中一点的固有时是 Lorentz变换下的不变量, 于是d=(1/1-n2)d 考虑A在(0,0y,0,0)和(△t,0′,0,0)发出相邻两个波前,其中△t=1/v,是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0,d,0,0)和(△t,d+vr△t,y△t,0),△t和△t的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t=d和t=d+(1+t)△t。于是 观测频率 vob (1+v)△t 当光源径向离开观测者时,有Do=(√1-v/1+)v,表现为红移;当光源径向 靠近观测者时,b=(+v/√1-v)v,表现为蓝移。 22引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是9。光线在引力场中 沿ds=0运动,即9004+2+9 nidda2+ giod.r'dt+ giidar'dr3=0,解得 dt grid z2 0190-900%y)drax7 900 取ds=0上的曲线参数:光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t=tA,B接 收到光线的时刻为t=tB。由式5得到(参见1]) tR-t go: dri/du+V(goigoi-9009i)dai du dcs/du 对于一般的度规,式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关,而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候,总是在静态场(9和时间无关)或 者准静态场的情形下,除了简化问题以外,而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题,这里将不作讨论。 3北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说，影响红移的有两种因素： 1. 光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候，这个 表现为度规的比值 2. 光线运动的路径 2.1 多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t, x, y, z)，A的静止参考系为(t 0 , x0 , y0 , z0 )；B的坐标为(t, 0, 0, 0)，A的两组 坐标为(t, d, 0, 0)和(t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )，且t = 0时x = d和t 0 = 00。在B的静止参考系中，光 源A以−→v = d −→x /dt的速度运动，总可以取适当坐标系使vz = 0，且x的方向恰好沿 着 −−→BA方向。在A的静止参考系中A点固有时dτ 0 = dt0，而在B的参考系中，A点固有 时dτ = dt − d −→x 2 = (1 − v 2 )dt。对于时-空中一点的固有时是Lorentz变换下的不变量， 于是dt = ³ 1/ √ 1 − v 2 ´ dt0。 考虑A在(00 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )和(∆t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )发出相邻两个波前，其中∆t 0 = 1/ν，ν 是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0, d, 0, 0)和(∆t, d+vr∆t, vy∆t, 0)，∆t和∆t 0的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t = d和t = d + (1 + vr)∆t。于是 观测频率 νob = 1 (1 + vr)∆t = √ 1 − v 2 1 + vr ν (4) 当光源径向离开观测者时，有νob = ¡√ 1 − v/√ 1 + v ¢ ν，表现为红移；当光源径向 靠近观测者时，νob = ¡√ 1 + v/√ 1 − v ¢ ν，表现为蓝移。 2.2 引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是gµν。光线在引力场中 沿ds = 0运动，即g00dt2 + g0idtdxi + gi0dxidt + gijdxidxj = 0，解得 dt = − g0idxi + p (g0ig0j − g00gij )dxidxj g00 (5) 取ds = 0上的曲线参数：光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t = tA，B接 收到光线的时刻为t = tB。由式5得到（参见[1]） tB − tA = Z uB uA dt dudu = Z uB uA − g0idxi/du + p (g0ig0j − g00gij )dxi/du dxj/du g00 du (6) 对于一般的度规，式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关，而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候，总是在静态场（gµν和时间无关）或 者准静态场的情形下，除了简化问题以外，而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题，这里将不作讨论。 3