北京大学数学科学学院：红移研究和宇宙学进展

红移研究和宇宙学进展 王晓宇,数学科学学院00级,北京大学 摘要 本文讨论了基于广义相对论和FLRW度规下的各种红移效应以及其他一些影响 光线频率的因素,并在此基础上介绍了当前宇宙学在超新星、背景辐射和类星体上 的研究。特别提到了类星体研究中关于精细结构常数α变化的观测现象。文中讨论 的影响因素不足以解释这种现象 关键字:引力场方程,FLRW度规,多普勒红移,引力红移,宇宙学红移,宇宙常数 简介 11宇宙学的发展 我们对于宇宙的观测和假设从来没有停止过。然而,宇宙学的真正兴起还是 在 Einstein提出了广义相对论以后。虽然广义相对论的提出快要一个世纪了,但是我们 对于宇宙的状态和发展还是知之甚少。一方面,关于宇宙学的理论基础一理论物理和粒 子物理不断被发展和完善,观测宇宙的方法不断被改进;另一方面,各种关于宇宙的假 设和模型被提出,其中一些由于不符合其他理论和实验结果而被否定,另外一些则能够 与已知的物理学相洽而被接受。但是即使在这些假设和模型之中,仍然有许多悬而未决 的问题,甚至这些问题比它们解决的问题还要多。 著名的 Einstein的引力场方程可以写作 8丌C D Rgp + Ag (1) 另外,如果假设宇宙是均匀的和各向同性的,我们得到FLRW( Friedmann- Lemaitre Robertson- Walker)度规 +R2(t) d 上面两个方程加上物态方程得到基本的FRW方程 R R p+3p+ R/+k

红移研究和宇宙学进展 王晓宇，数学科学学院00 级，北京大学 摘 要 本文讨论了基于广义相对论和FLRW度规下的各种红移效应以及其他一些影响 光线频率的因素，并在此基础上介绍了当前宇宙学在超新星、背景辐射和类星体上 的研究。特别提到了类星体研究中关于精细结构常数α变化的观测现象。文中讨论 的影响因素不足以解释这种现象。 关键字：引力场方程，FLRW度规，多普勒红移，引力红移，宇宙学红移，宇宙常数 一 简介 1.1 宇宙学的发展 我们对于宇宙的观测和假设从来没有停止过。然而，宇宙学的真正兴起还是 在Einstein提出了广义相对论以后。虽然广义相对论的提出快要一个世纪了，但是我们 对于宇宙的状态和发展还是知之甚少。一方面，关于宇宙学的理论基础—理论物理和粒 子物理不断被发展和完善，观测宇宙的方法不断被改进；另一方面，各种关于宇宙的假 设和模型被提出，其中一些由于不符合其他理论和实验结果而被否定，另外一些则能够 与已知的物理学相洽而被接受。但是即使在这些假设和模型之中，仍然有许多悬而未决 的问题，甚至这些问题比它们解决的问题还要多。 著名的Einstein的引力场方程可以写作 Rµν − 1 2 Rgµν = − 8πG c 4 Tµν + Λgµν (1) 另外，如果假设宇宙是均匀的和各向同性的，我们得到FLRW(Friedmann-Lemaˆitre￾Robertson-Walker)度规 ds2 = −dt2 + R 2 (t) µ dr2 1 − kr2 + r 2 dθ2 + r 2 sin2 θdϕ2 ¶ (2) 上面两个方程加上物态方程得到基本的FRW方程 R¨ R = − 4πG 3 ρ + 3p + Λ 3 Ã R˙ R !2 + k = 8πG 3 ρR2 + ΛR2 3 (3) 1

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 其中 Hubble常数Ha/a 早期的模型假设宇宙是静止的,然而不久就发现这类模型不符合 Hubble观测星 系得到的结果。上世纪50年代的时候G. Gamow提出了“大爆炸”理论( Big bang),随 后由于 Penzias和 Wilson发现宇宙背景辐射(CMB),这个理论得到了强有力的支持。此 外,大爆炸理论对于早期核合成也作出了很准确的解释。 与此同时,几种其他的宇宙模型,例如 Brans-Dicke的标量张量理论(,p159), 在式1的右侧加上了一个标量场,或者 Bondi-Gold的静态宇宙模型([14])和 Hoyle-Narlikar 的模型 也对我们宇宙的状态和发展作出了解释。此外,标准模型和大爆炸理 论并非一帆风顺,它仍旧遇到了宇宙视界和平坦性的问题和 Fine tuning的问题。由 于Guth的大胆假设,暴胀理论( infation)([18)的提出以及其后一系列的发展(19],[23) 多少解决了这个问题。 标准模型遇到的另一个问题,则是宇宙间物质的构成。我们观测到的可见物质, 甚至可以计算的所有重子物质,远小于宇宙的临界质量。此外,宇宙常数也需要一个合 理的解释。因此各种关于暗物质( dark matter)和暗能量( dark energy)的理论被提出。暴 胀理论引入了一个标量场( quintessence),此后许多宇宙模型中也出现了类似的场来解 释宇宙常数,以作为对标准模型的修正。虽然这些模型和现有的物理学多少相洽,但是 它们更像是物理学家的玩具模型。 这是上世纪90年代以前的宇宙学。进入90年代以后,宇宙学的发展出现了前所未 有的进展。一方面是对于宇宙背景辐射的一系列观测:COBE1、 Boomerang(13]) Maxima i(20],(22)kI, ARCHEOPS2,WMAP3(S]),给出的结果对于我们宇宙作 出了一些限制;另一方面是S. Perlmutter et al.([26],[27],{28],[29)和A.G. Riess et al(34],[35])两个小组对Ia型超新星的观测结果,这和其他观测计划,如2FGRS计 划4,以及上面宇宙背景辐射观测得出的结果一起,对于 Hubble参数等一系列重要的宇 宙参数给出了估计。此后,围绕着“宇宙质量等于临界质量”和宇宙参数的估计,有不 断有新的模型和解释被提出,例如 Cardassian模型([17)在 Freedman方程上加上了非齐 次项;对于宇宙中物质的组成,和相应的物态方程( equation of state),也有许多解释。 这些模型并没有,至少到目前为止,为宇宙学带来实质的变化,而且它们本身也受到质 疑,如对 Cardassian的讨论([43]) 二各种红移 个始终贯穿所有测量的,无论是在对于宇宙背景辐射的测量中还是对于Ia型超新 星或者是星系和类星体的测量中的,就是红移效应,或者更加广泛地,观测频率与光源 本身频率的差别z=(b-)/。在所有这些红移效应中,由于宇宙演化而产生的红移 是主要的,也是我们决定各类常数的主要依据 COBE: Cosmic Background Explorer 2http://www.archeops.org/ 3WMAP: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe http://www.mso.anu.edu.au/2dfgrs/

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 其中Hubble常数H , a/a ˙ 。 早期的模型假设宇宙是静止的，然而不久就发现这类模型不符合Hubble观测星 系得到的结果。上世纪50年代的时候G. Gamow提出了“大爆炸”理论(Big Bang)，随 后由于Penzias和Wilson发现宇宙背景辐射(CMB)，这个理论得到了强有力的支持。此 外，大爆炸理论对于早期核合成也作出了很准确的解释。 与此同时，几种其他的宇宙模型，例如Brans-Dicke的标量–张量理论([5], p159)， 在式1的右侧加上了一个标量场，或者Bondi-Gold的静态宇宙模型([14])和Hoyle-Narlikar 的模型([21])，也对我们宇宙的状态和发展作出了解释。此外，标准模型和大爆炸理 论并非一帆风顺，它仍旧遇到了宇宙视界和平坦性的问题和fine tuning的问题。由 于Guth的大胆假设，暴胀理论(inflation)([18])的提出以及其后一系列的发展([19], [23]) 多少解决了这个问题。 标准模型遇到的另一个问题，则是宇宙间物质的构成。我们观测到的可见物质， 甚至可以计算的所有重子物质，远小于宇宙的临界质量。此外，宇宙常数也需要一个合 理的解释。因此各种关于暗物质(dark matter)和暗能量(dark energy)的理论被提出。暴 胀理论引入了一个标量场(quintessence)，此后许多宇宙模型中也出现了类似的场来解 释宇宙常数，以作为对标准模型的修正。虽然这些模型和现有的物理学多少相洽，但是 它们更像是物理学家的玩具模型。 这是上世纪90年代以前的宇宙学。进入90年代以后，宇宙学的发展出现了前所未 有的进展。一方面是对于宇宙背景辐射的一系列观测：COBE1、BoomeRANG([13]), Maxima I ([20], [22]) & II, ARCHEOPS2 , WMAP3 ([8])，给出的结果对于我们宇宙作 出了一些限制；另一方面是S. Perlmutter et al.([26], [27] , [28], [29])和A. G. Riess et al.([34], [35])两个小组对Ia型超新星的观测结果，这和其他观测计划，如2dFGRS计 划4，以及上面宇宙背景辐射观测得出的结果一起，对于Hubble参数等一系列重要的宇 宙参数给出了估计。此后，围绕着“宇宙质量等于临界质量”和宇宙参数的估计，有不 断有新的模型和解释被提出，例如Cardassian模型([17])在Freedman方程上加上了非齐 次项；对于宇宙中物质的组成，和相应的物态方程(equation of state)，也有许多解释。 这些模型并没有，至少到目前为止，为宇宙学带来实质的变化，而且它们本身也受到质 疑，如对Cardassian的讨论([43])。 二 各种红移 一个始终贯穿所有测量的，无论是在对于宇宙背景辐射的测量中还是对于Ia型超新 星或者是星系和类星体的测量中的，就是红移效应，或者更加广泛地，观测频率与光源 本身频率的差别z = (λob − λ)/λ。在所有这些红移效应中，由于宇宙演化而产生的红移 是主要的，也是我们决定各类常数的主要依据。 1COBE: Cosmic Background Explorer 2http://www.archeops.org/ 3WMAP: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe 4http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/ 2

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说,影响红移的有两种因素: 1.光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候,这个 表现为度规的比值 2.光线运动的路 2.1多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t,x,y,z),A的静止参考系为(t,x,y,2);B的坐标为(t,0,0,0),A的两组 坐标为(t,d,0,0)和(,0,0,0),且t=0时x=d和t=0。在B的静止参考系中,光 源A以=dx/t的速度运动,总可以取适当坐标系使v2=0,且x的方向恰好沿 着BA方向。在A的静止参考系中A点固有时d=dt,而在B的参考系中,A点固有 时dr=dt-dx2=(1-2)d。对于时空中一点的固有时是 Lorentz变换下的不变量, 于是d=(1/1-n2)d 考虑A在(0,0y,0,0)和(△t,0′,0,0)发出相邻两个波前,其中△t=1/v,是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0,d,0,0)和(△t,d+vr△t,y△t,0),△t和△t的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t=d和t=d+(1+t)△t。于是 观测频率 vob (1+v)△t 当光源径向离开观测者时,有Do=(√1-v/1+)v,表现为红移;当光源径向 靠近观测者时,b=(+v/√1-v)v,表现为蓝移。 22引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是9。光线在引力场中 沿ds=0运动,即9004+2+9 nidda2+ giod.r'dt+ giidar'dr3=0,解得 dt grid z2 0190-900%y)drax7 900 取ds=0上的曲线参数:光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t=tA,B接 收到光线的时刻为t=tB。由式5得到(参见1]) tR-t go: dri/du+V(goigoi-9009i)dai du dcs/du 对于一般的度规,式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关,而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候,总是在静态场(9和时间无关)或 者准静态场的情形下,除了简化问题以外,而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题,这里将不作讨论。 3

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 单从广义相对论来说，影响红移的有两种因素： 1. 光源A和观测者B两点的坐标时和固有时的关系。当A和B都是静止的时候，这个 表现为度规的比值 2. 光线运动的路径 2.1 多普勒红移 多普勒红移的产生是由于光源A和观测者B之间的相对运动。假设B的静止参 考系坐标为(t, x, y, z)，A的静止参考系为(t 0 , x0 , y0 , z0 )；B的坐标为(t, 0, 0, 0)，A的两组 坐标为(t, d, 0, 0)和(t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )，且t = 0时x = d和t 0 = 00。在B的静止参考系中，光 源A以−→v = d −→x /dt的速度运动，总可以取适当坐标系使vz = 0，且x的方向恰好沿 着 −−→BA方向。在A的静止参考系中A点固有时dτ 0 = dt0，而在B的参考系中，A点固有 时dτ = dt − d −→x 2 = (1 − v 2 )dt。对于时-空中一点的固有时是Lorentz变换下的不变量， 于是dt = ³ 1/ √ 1 − v 2 ´ dt0。 考虑A在(00 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )和(∆t 0 , 0 0 , 0 0 , 0 0 )发出相邻两个波前，其中∆t 0 = 1/ν，ν 是光源 的频率。在B的参考系中相应的坐标则为(0, d, 0, 0)和(∆t, d+vr∆t, vy∆t, 0)，∆t和∆t 0的 关系遵从前面的公式。因此B接收到两个波前的时刻为t = d和t = d + (1 + vr)∆t。于是 观测频率 νob = 1 (1 + vr)∆t = √ 1 − v 2 1 + vr ν (4) 当光源径向离开观测者时，有νob = ¡√ 1 − v/√ 1 + v ¢ ν，表现为红移；当光源径向 靠近观测者时，νob = ¡√ 1 + v/√ 1 − v ¢ ν，表现为蓝移。 2.2 引力红移 引力红移是广义相对论的直接推论之一。设引力场的度规是gµν。光线在引力场中 沿ds = 0运动，即g00dt2 + g0idtdxi + gi0dxidt + gijdxidxj = 0，解得 dt = − g0idxi + p (g0ig0j − g00gij )dxidxj g00 (5) 取ds = 0上的曲线参数：光源A(uA)和观测者B(uB)。A发出光线的时刻为t = tA，B接 收到光线的时刻为t = tB。由式5得到（参见[1]） tB − tA = Z uB uA dt dudu = Z uB uA − g0idxi/du + p (g0ig0j − g00gij )dxi/du dxj/du g00 du (6) 对于一般的度规，式6右边表示光线从A到B的坐标时变化与空间路径有关，而空间路径 可能随时间一起变化。因此讨论引力红移的时候，总是在静态场（gµν和时间无关）或 者准静态场的情形下，除了简化问题以外，而且这样才有一般红移的观测意义。此时空 间路径由A和B确定。对于在一般的引力场下光线频率变化的现象本身构成了另外一个 问题，这里将不作讨论。 3

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设光源A在坐标时t=tA和t=tA4=tA+△A发出两个相邻波前。在A点的局部惯性 系中,度规是n,光的相邻两个波前的时间间隔△t4=1/v,v是光源的频率,这个由 具体的物理过程决定;固有时dr′=△tA。在A点的带有引力场的度规下,固有时 dr =-guudr""=-goodt 和狭义相对论类似,一点的固有时是度规变换下的不变量,于是 △tA=d=(1/√=9(4)dr=(1/√-9o(4)dr=(1/y-9o(4)△A 由式6B点接受到两个波前的坐标时t=tB和t=t满足t-t4=tB-tA,从而 △tB=tB-tB=t4-tA=△tA B点的静止观测者处在B点的局部惯性系当中,类似A点的变换他测得的时间间隔应该 为△t 900(B)△tB。于是 静态球对称引力场下引力源外部的 Schwarzschild度规为 2mG dt2+ 2MG)d2+2d2+r2si2d2(8) 其中M为引力源的质量,G为引力常数 在这个度规下,根据引力红移的公式7,得到在 Schwarzschild度规下B点一个物理 过程发光的频率和接收到A点相同过程发光的频率的差别为 1-2GM 在rA》GM,B》GM时上式近似为 △ob-GMGM TA 这意味着当光线的传播满足rA>TB时我们将观测到蓝移({32])。 23宇宙学红移 设宇宙的几何性质用FLRW度规来描述,其中选取观测者B为原点: 同样光线沿=0运动,由坐标系的选取,即-d2+(R2(1)/(1-kr2)dr2=0 取ds=0上的曲线参数为r:光源A(r)和观测者B(0)。A发出光线的时刻为t=tA,B接 收到光线的时刻为t=tB,则 R-

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设光源A在坐标时t = tA和t = t 0 A = tA + ∆A发出两个相邻波前。在A点的局部惯性 系中，度规是ηµν，光的相邻两个波前的时间间隔∆t 0 A = 1/ν，ν是光源的频率，这个由 具体的物理过程决定；固有时dτ 0 = ∆t 0 A。在A点的带有引力场的度规下，固有时 dτ 2 = −gµνdxµ dxν = −g00dt2 和狭义相对论类似，一点的固有时是度规变换下的不变量，于是 ∆tA = dt = ³ 1/ p −g00(A) ´ dτ = ³ 1/ p −g00(A) ´ dτ 0 = ³ 1/ p −g00(A) ´ ∆t 0 A 由式6 B点接受到两个波前的坐标时t = tB和t = t 0 B满足t 0 B − t 0 A = tB − tA，从而 ∆tB = t 0 B − tB = t 0 A − tA = ∆tA B点的静止观测者处在B点的局部惯性系当中，类似A点的变换他测得的时间间隔应该 为∆t 0 B = p −g00(B) ∆tB。于是 νob ν = ∆t 0 A ∆t 0 B = p −g00(A) p −g00(B) (7) 静态球对称引力场下引力源外部的Schwarzschild度规为 ds2 = − µ 1 − 2MG r ¶ dt2 + µ 1 − 2MG r ¶−1 dr2 + r 2 dθ2 + r 2 sin2 θdϕ2 (8) 其中M为引力源的质量，G为引力常数。 在这个度规下，根据引力红移的公式7，得到在Schwarzschild 度规下B点一个物理 过程发光的频率和接收到A点相同过程发光的频率的差别为 νob ν = p 1 − 2GM/rA p 1 − 2GM/rB 在rA À GM,rB À GM时上式近似为 ∆ν ν = νob − ν ν = GM rB − GM rA 这意味着当光线的传播满足rA > rB时我们将观测到蓝移([32])。 2.3 宇宙学红移 设宇宙的几何性质用FLRW度规来描述，其中选取观测者B为原点： 同样光线沿ds = 0运动，由坐标系的选取，即−dt2 + ¡ R2 (t)/(1 − kr2 ) ¢ dr2 = 0。 取ds = 0 上的曲线参数为r：光源A(r)和观测者B(0)。A发出光线的时刻为t = tA，B接 收到光线的时刻为t = tB，则 Z tB tA dt R(t) = Z 0 r dr √ 1 − kr2 (9) 4

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设A在t=tA和t=tA+△tA发出两个相邻波前,B在t=tB和t=tB+△tB接收到 它们。由式9得到 tB+△tBdt tA+△tAdt R 于是(△tB和△tA都很小) △n Rt 由于FLRW度规下900=-1,于是A和B的局部惯性系下的坐标时和FLRW度规下的坐 标时大小相同,于是 t4△tAR (10) 这具体表现为在膨胀的宇宙中,由于R(tA)<R(tB),因此观测到的光线将出现红移现 2.4误差来源 这里讨论一下不同频率对宇宙学红移的影响。这个体现在式9中积分区间长度不 同。不直接去掉积分号,我们假设在Δ很小的时间内,R(t)=R(to)+R(to)(t-to R(to)(1+H(to)(t-to)。那么,积分式9就得到 ln(1+H(tA)△tA)ln(1+H(tB)△tB) R(tAH(tA) R(tB)H(tB) 将l展开,如果忽略二次以上的项,那么就是式10。如果不忽略二次项,那么 △tA-(H(t)/2)△t24△tB-(H(tB)/2)△t R(tA) R(tB) 对于可见光入~10-6m,二次项前系数<10-13,完全可以忽略。对于微波λ<1m,这 个系数<10-7。 其次,在实际观测远处光源时,清楚地区分三种情形下的红移并不可能。通常假 设两种红移只在光源处和接近观测者的时候才起作用(这里只计算近端的效应),于 是∽=(1+z)(1+x),其中z是宇宙学红移,z是其他两种红移。实际观测中通过 这样的方法对观测数据作出修正。 25其他改变光线频率的因素 在广义相对论和标准模型的框架下,如果不考虑光子在传播过程中与其他粒子发 生反应的话,那么改变光线频率的只能由上面两个因素。有两点需要指出 1.关于引力透镜效应从引力红移的讨论可以看到,影响观测频率和实际频率之比的 只是光源和观测者处的度规,而与传播的具体路径无关。然而引力红移的假设基 于静态或者准静态的引力场,变化的引力场能够引起第二种因素的变化,从而使 光线的观测频率发生变化。因此虽然通常只讨论引力透镜效应引起的光线偏折, 在特殊情况下对于红移这个效应也不能忽视; 5

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 设A在t = tA和t = tA + ∆tA发出两个相邻波前，B在t = tB和t = tB + ∆tB接收到 它们。由式9得到 Z tB+∆tB tB dt R(t) = Z tA+∆tA tA dt R(t) 于是（∆tB和∆tA都很小） ∆tB ∆tA = RtB RtA 由于FLRW度规下g00 = −1，于是A和B的局部惯性系下的坐标时和FLRW度规下的坐 标时大小相同，于是 νob ν = ∆t 0 A ∆t 0 B = ∆tA ∆tB = RtA RtB (10) 这具体表现为在膨胀的宇宙中，由于R(tA) < R(tB)，因此观测到的光线将出现红移现 象。 2.4 误差来源 这里讨论一下不同频率对宇宙学红移的影响。这个体现在式9中积分区间长度不 同。不直接去掉积分号，我们假设在∆t很小的时间内，R(t) = R(t0) + R˙(t0)(t − t0) = R(t0) (1 + H(t0)(t − t0))。那么，积分式9就得到 ln(1 + H(tA)∆tA) R(tA)H(tA) = ln(1 + H(tB)∆tB) R(tB)H(tB) 将ln展开，如果忽略二次以上的项，那么就是式10。如果不忽略二次项，那么 ∆tA − (H(tA)/2)∆t 2 A R(tA) = ∆tB − (H(tB)/2)∆t 2 B R(tB) 对于可见光λ ∼ 10−6m，二次项前系数< 10−13，完全可以忽略。对于微波λ < 1m，这 个系数< 10−7。 其次，在实际观测远处光源时，清楚地区分三种情形下的红移并不可能。通常假 设两种红移只在光源处和接近观测者的时候才起作用（这里只计算近端的效应），于 是νob = (1 + zo)(1 + zc)ν，其中zc是宇宙学红移，zo是其他两种红移。实际观测中通过 这样的方法对观测数据作出修正。 2.5 其他改变光线频率的因素 在广义相对论和标准模型的框架下，如果不考虑光子在传播过程中与其他粒子发 生反应的话，那么改变光线频率的只能由上面两个因素。有两点需要指出： 1. 关于引力透镜效应从引力红移的讨论可以看到，影响观测频率和实际频率之比的 只是光源和观测者处的度规，而与传播的具体路径无关。然而引力红移的假设基 于静态或者准静态的引力场，变化的引力场能够引起第二种因素的变化，从而使 光线的观测频率发生变化。因此虽然通常只讨论引力透镜效应引起的光线偏折， 在特殊情况下对于红移这个效应也不能忽视； 5

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 2.关于星系间物质虽然现在还不知道暗物质和暗能量的具体物理性质,但是对于 般的尘埃物质来说,不考虑两次辐射的作用,只能够减弱观测者接收到的光线强 度,而不能改变观测者观测到的频率。 在研究宇宙背景辐射的时候还必须考虑 Sunyaev- Zel'dovich效应(37],[38,33)。S- Z效应包含两个产生因素:一个是背景辐射的光子与分布于星系团中间的电子反应而造 成的S-Z热效应;另一个是由于星系团相对背景辐射运动的多普勒效应而引起的SZ运动 学效应。这些效应使背景辐射的功率谱向频率高的方向移动。因此这个可能使产生背景 辐射各向异性的一个因素。但是研究星系红移的时候,观测的不是功率谱而是特殊谱线 的红移,因此不需要考虑这个效应。 当前进展 3.1超新星研究 超新星可以根据光谱分为I型和∏型:I型超新星不含有氢元素谱线,而Ⅱ型超新星 含有氢元素谱线。I型超新星又可以分为Ia,I和Ic三个子类:Ia型含有较多的硅,Ib型 含有较多的氦,而Ic型则缺乏氦和硅。 理论模型告诉我们,Ia型超新星爆发产生于双星系统,其中一个是含C-O的白矮 星。当这颗白矮星由于吸积来自伴星的物质而超过 Chandrasekhar极限(≈1.4M。)时, 就产生了超新星爆发。由于Ia型超新星爆发的原理大致相似,使不同距离和星系中 这类超新星的光谱具有一致性;同时,Ia型超新星的最大亮度有明显的峰值;此外, 在z>0.1的距离上,ia型超新星的爆发能够以较高的精确度被观测到。([10,[11)由于 它的理论基础已经比较清楚,光谱性质良好,因此Ia型超新星被用作宇宙学中的距离标 尺 利用FRW方程式3和宇宙学红移小节中式9以及光度距离dL=a01(1+2)得到 4:(+-a 其中 8TG r 3H k 满足 k>0 (x),k<0 而v则是物态方程pa3(1+)= const l的系数。 光度距离d定义成B=C/4rd 6

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 2. 关于星系间物质虽然现在还不知道暗物质和暗能量的具体物理性质，但是对于一 般的尘埃物质来说，不考虑两次辐射的作用，只能够减弱观测者接收到的光线强 度，而不能改变观测者观测到的频率。 在研究宇宙背景辐射的时候还必须考虑Sunyaev-Zel’dovich效应([37], [38], [33])。S￾Z效应包含两个产生因素：一个是背景辐射的光子与分布于星系团中间的电子反应而造 成的S-Z热效应；另一个是由于星系团相对背景辐射运动的多普勒效应而引起的S-Z运动 学效应。这些效应使背景辐射的功率谱向频率高的方向移动。因此这个可能使产生背景 辐射各向异性的一个因素。但是研究星系红移的时候，观测的不是功率谱而是特殊谱线 的红移，因此不需要考虑这个效应。 三 当前进展 3.1 超新星研究 超新星可以根据光谱分为I型和II型：I型超新星不含有氢元素谱线，而II型超新星 含有氢元素谱线。I型超新星又可以分为Ia，Ib和Ic三个子类：Ia型含有较多的硅，Ib型 含有较多的氦，而Ic型则缺乏氦和硅。 理论模型告诉我们，Ia型超新星爆发产生于双星系统，其中一个是含C-O的白矮 星。当这颗白矮星由于吸积来自伴星的物质而超过Chandrasekhar极限(≈ 1.4 M¯)时， 就产生了超新星爆发。由于Ia型超新星爆发的原理大致相似，使不同距离和星系中 这类超新星的光谱具有一致性；同时，Ia型超新星的最大亮度有明显的峰值；此外， 在z > 0.1的距离上，Ia型超新星的爆发能够以较高的精确度被观测到。([10], [11])由于 它的理论基础已经比较清楚，光谱性质良好，因此Ia型超新星被用作宇宙学中的距离标 尺。 利用FRW方程式3和宇宙学红移小节中式9以及光度距离5dL = a0r1(1 + z)得到 dLH0 = 1 + z p |Ωk| S    p |Ωk| Z z 0 "X i Ωi(1 + z 0 ) 3+3wi − Ωk(1 + z 0 ) 2 #−1/2 dz0    (11) 其中 Ωm ≡ 8πG 3H2 ρm, Ωr ≡ 8πG 3H2 ρr, ΩΛ ≡ Λ 3H2 , Ωk ≡ k H2a 2 满足 Ωk = Ωm + Ωr + ΩΛ − 1 S(x) =    sin(x) , k > 0 x , k = 0 sinh(x) , k < 0 而wi则是物态方程ρia 3(1+wi) = const的系数。 5光度距离dL定义成B = L/4πd2 L 6

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 在目前的宇宙中9≈0,式(11)化简为 1+ s{v/[+9m2)(1+)2-942(2+) 利用 Taylor展开得到 90 q称为减速因子 φB=136V)的数量不足以维持反应p+e-→H+?的平衡。然后电子和光子通 过散射过程γ+εˉ冖eˉ+η维持热平衡。当温度继续降低的时候,自由电子的数目不 断减少,即使是后面一个反应也无法维持,于是光子退耦。退耦的光子在今天被观测为 背景辐射。 设Tde为退耦时候的温度。那么背景辐射的亮度满足 Planck谱 B,T) c2 ehv/kTaec-l 但是今天观测到的背景辐射光子经过了宇宙学红移,观测频率为,观测到的 Planck谱 的形状则不变,于是相应的背景辐射温度T就满足v/Tde=ob/T 上世纪60年代 Penzias和 Wilson发现背景辐射的时候观测的只是频率为4080MHz上 的温度。上世纪90年代发射的COBE卫星则对各个频率作了测量,发现背景辐射 SCP: Supernova Cosmology Project THZT: High-Z Supernova Search Team

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 在目前的宇宙中Ωr ≈ 0，式(11)化简为 dLH0 = 1 + z p |Ωk| S ½p |Ωk| Z z 0 £ (1 + Ωmz 0 )(1 + z 0 ) 2 − ΩΛz 0 (2 + z 0 ) ¤−1/2 dz0 ¾ 利用Taylor展开得到 dLH0 = z + 1 − q0 2 z 2 + O(z 3 ) q0称为减速因子 q0 = − RR¨ R˙ 2 = 1 2 Ωm − ΩΛ q0 B = 13.6eV )的数量不足以维持反应p + e − ↔ H + γ的平衡。然后电子和光子通 过散射过程γ + e − ↔ e − + γ维持热平衡。当温度继续降低的时候，自由电子的数目不 断减少，即使是后面一个反应也无法维持，于是光子退耦。退耦的光子在今天被观测为 背景辐射。 设Tdec为退耦时候的温度。那么背景辐射的亮度满足Planck谱 Bν(T) = 2h c 2 ν 3 e hν/kTdec − 1 但是今天观测到的背景辐射光子经过了宇宙学红移，观测频率为νob，观测到的Planck谱 的形状则不变，于是相应的背景辐射温度T就满足ν/Tdec = νob/T。 上世纪60年代Penzias和Wilson发现背景辐射的时候观测的只是频率为4080MHz上 的温度。上世纪90年代发射的COBE卫星则对各个频率作了测量，发现背景辐射 6SCP: Supernova Cosmology Project 7HZT: High–Z Supernova Search Team 7

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 与 Planck谱高度符合。随后的观测计划如 BoomeranG, Maxima i&II, ARCHEOPS和 WMAP除了进一步测量频率以外,还观测了背景辐射的各向异性。这一方面是银河系 相对于退耦光子的最后散射面相对运动造成的多普勒红移,另一方面则是退耦时候空间 细微的不均匀性造成的。 这些观测对于当前宇宙的参数也作出了估计。WMAP第一年观测结果(⑧])给 出:h=0.71+004,相对物质质量92m=0.27±0.04,相对重子物质质量2bh2=0.044 0.004,相对总质量9ot(=9m+9r+92A)=1.02±0.02。 33类星体方面的研究 在类星体方面,JK.Webb小组(40,[41)在研究了三组样本的128个类星体数 据(0.2<z<3.7)以后指出,精细结构常数α可能随时间变化,变化率为△a/a (a2-ao)/ao=(0.543±0.116×10-5,,其中a2是远处的值,红移0.2<z<37,a0是 实验室的值。 在类星体的吸收光谱中有双线的结构。例如实验室中SiIV中电子从基态s跃迁到 态p由于能级分裂,产生的光子的频率是13938A和1402.8A。通过计算两个分裂能级的 差,能够得到当前的精细结构常数αo。J.K.Webb小组改进了这样的方法,从原子光 谱的多条谱线测量了能级之间的差( MM Method)([42)。例如FeⅡ中多条谱线的频率 为2344.2A,25866A,2382.8A,2374.5A,2600.2A。他们从类星体数据中发现在计算了宇 宙学红移后谱线相对频率差的改变。 种可能是宇宙学红移并不精确,例如红移效应随频率不同而不同。但在宇宙学 红移的讨论中看到,这种因素的影响是很小的。其次光线的频率范围从100043000A都 观测到了这种改变。此外Webb等人也计算了各种相对论因素并讨论了其他因素的影 响,主要有大气散射的影响和同位素的因素。然而这些因素都不能解释相对频率差的改 变。因此有较大的可能a发生了变化 四总结 和微观世界的物理学一样,宇宙学恐怕是物理领域当中能够同时容纳最多模型和 假设的一门科学了。即便如此,宇宙学的发展还不得不依赖于其他如粒子物理的进展。 这源于以下两个困难 1.测量上的困难:对各种模型中的参数,都不得不依赖于大量的观测数据得到。而 这些观测数据也是间接得到的,这使得宇宙学被称为“数量级”的科学; 2.检验上的困难:虽然许多模型都能对现有现象作出相洽的解释,但是检验它们正 确与否却需要大的时间跨度和空间跨度,这又要求我们对宇宙的历史也有了解。 第一种困难随着观测仪器的不断改进和观测水平的不断提高已经得到逐步改善 目前在测量上获得了许多重要的数据,并且通过这些数据我们对宇宙的参数有了基本的 估计,其中最重要的,就是几种观测同时得到的“时空是基本平坦的,并且当前宇宙在 8

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 与Planck谱高度符合。随后的观测计划如BoomeRANG, Maxima I & II, ARCHEOPS和 WMAP除了进一步测量频率以外，还观测了背景辐射的各向异性。这一方面是银河系 相对于退耦光子的最后散射面相对运动造成的多普勒红移，另一方面则是退耦时候空间 细微的不均匀性造成的。 这些观测对于当前宇宙的参数也作出了估计。WMAP第一年观测结果([8]) 给 出：h = 0.71+0.03 −0.04，相对物质质量Ωm = 0.27 ± 0.04，相对重子物质质量Ωbh 2 = 0.044 ± 0.004，相对总质量Ωtot(= Ωm + Ωr + ΩΛ) = 1.02 ± 0.02。 3.3 类星体方面的研究 在类星体方面，J. K. Webb小组([40], [41])在研究了三组样本的128个类星体数 据(0.2 < z < 3.7)以后指出，精细结构常数α可能随时间变化，变化率为∆α/α = (αz−α0)/α0 = (0.543±0.116)×10−5，，其中αz 是远处的值，红移0.2 < z < 3.7，α0是 实验室的值。 在类星体的吸收光谱中有双线的结构。例如实验室中Si IV中电子从基态s跃迁到 态p由于能级分裂，产生的光子的频率是1393.8A˙和1402.8A˙。通过计算两个分裂能级的 差，能够得到当前的精细结构常数α0。J. K. Webb小组改进了这样的方法，从原子光 谱的多条谱线测量了能级之间的差(MM Method)([42])。例如Fe II中多条谱线的频率 为2344.2A˙ , 2586.6A˙ , 2382.8A˙ , 2374.5A˙ , 2600.2A˙。他们从类星体数据中发现在计算了宇 宙学红移后谱线相对频率差的改变。 一种可能是宇宙学红移并不精确，例如红移效应随频率不同而不同。但在宇宙学 红移的讨论中看到，这种因素的影响是很小的。其次光线的频率范围从1000A˙ 3000A˙都 观测到了这种改变。此外Webb 等人也计算了各种相对论因素并讨论了其他因素的影 响，主要有大气散射的影响和同位素的因素。然而这些因素都不能解释相对频率差的改 变。因此有较大的可能α发生了变化。 四 总结 和微观世界的物理学一样，宇宙学恐怕是物理领域当中能够同时容纳最多模型和 假设的一门科学了。即便如此，宇宙学的发展还不得不依赖于其他如粒子物理的进展。 这源于以下两个困难： 1. 测量上的困难：对各种模型中的参数，都不得不依赖于大量的观测数据得到。而 这些观测数据也是间接得到的，这使得宇宙学被称为“数量级”的科学； 2. 检验上的困难：虽然许多模型都能对现有现象作出相洽的解释，但是检验它们正 确与否却需要大的时间跨度和空间跨度，这又要求我们对宇宙的历史也有了解。 第一种困难随着观测仪器的不断改进和观测水平的不断提高已经得到逐步改善。 目前在测量上获得了许多重要的数据，并且通过这些数据我们对宇宙的参数有了基本的 估计，其中最重要的，就是几种观测同时得到的“时空是基本平坦的，并且当前宇宙在 8

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 作加速膨胀”的结论,并且这个结论极有可能是对的。但是对于这些参数的解释,许多 还尚未达到一致。主要的问题集中在宇宙常数产生的物质项A上。 从现代宇宙学看来,宇宙常数是必须的(WMAP,8])。在9ot=1的模型下面,A所 对应的“质量”ΩA称为 dark energy。几种理论给出了这部分能量的物理对应物:其中 冷暗物质(ACDM°)理论对这部分能量给出的解释与实际观测能够符合;此外也有观点 认为这是由于真空场( Quintessence)(⑨,[25],15]) 其次,宇宙常数A相应的物态方程pAa3(1+A)= const中系数uA也非常重要,这个 能够决定减速因子q的变化。如果A只是一个常数,那么A=-1;如果A是一个场,那 么M有可能随时间变化(30)。这个系数的值也很重要。A<-1意味着相应“物质 的密度pA随着宇宙的膨胀而增加(12])。WMAP(S])给出A的单方面限制v;<-078 (95%置信度)。 宇宙学促进了物理其他领域的发展,例如超弦理论,试图从更高维数的角度来解 释观测到的现象。从这个方面来看,第二类困难是主要的。并且给出的观测数据虽然相 洽并且有了很高的精度,但还没有达到完全一致的地步,因此不排除有新的理论出现的 可能。在未来几年,随着更多方面的观测数据给出,我们对于宇宙的理解应该会更进一 步 致谢 特别感谢马伯强老师的指导和对于一些问题的讨论。此外,在这个过程中遇到了 种种困难,还要感谢马伯强老师的鼓励和校长基金的支持。 CDM: Cold Dark matter.ACDM指其中宇宙常数A不能忽略 9

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 作加速膨胀”的结论，并且这个结论极有可能是对的。但是对于这些参数的解释，许多 还尚未达到一致。主要的问题集中在宇宙常数产生的物质项ΩΛ上。 从现代宇宙学看来，宇宙常数是必须的(WMAP, [8])。在Ωtot = 1的模型下面，Λ所 对应的“质量”ΩΛ 称为dark energy。几种理论给出了这部分能量的物理对应物：其中 冷暗物质(ΛCDM8 ) 理论对这部分能量给出的解释与实际观测能够符合；此外也有观点 认为这是由于真空场(Quintessence) ([9], [25], [15])。 其次，宇宙常数Λ相应的物态方程ρΛa 3(1+wΛ) = const 中系数wΛ也非常重要，这个 能够决定减速因子q的变化。如果Λ只是一个常数，那么wΛ = −1；如果Λ是一个场，那 么wΛ有可能随时间变化([30])。这个系数的值也很重要。wΛ < −1意味着相应“物质” 的密度ρΛ随着宇宙的膨胀而增加([12])。WMAP([8])给出wΛ的单方面限制wi < −0.78 (95%置信度)。 宇宙学促进了物理其他领域的发展，例如超弦理论，试图从更高维数的角度来解 释观测到的现象。从这个方面来看，第二类困难是主要的。并且给出的观测数据虽然相 洽并且有了很高的精度，但还没有达到完全一致的地步，因此不排除有新的理论出现的 可能。在未来几年，随着更多方面的观测数据给出，我们对于宇宙的理解应该会更进一 步。 致 谢 特别感谢马伯强老师的指导和对于一些问题的讨论。此外，在这个过程中遇到了 种种困难，还要感谢马伯强老师的鼓励和校长基金的支持。 8CDM: Cold Dark Matter. ΛCDM指其中宇宙常数Λ不能忽略 9

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 参考文献 [1J. Foster J. D. Nightgale, 1995, A Short Course in General Relativity, Spring Verl 2 A D. French, Special Relativity, W.W. Norton Company Inc, Newyork 中译本:狭义相对论,张大卫译,1979,人民教育出版社 3 A. Guth, 1997, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins, Addison-Wesley [4 L D. Landau E. M. Lifshitz, 1975, Course of Theoretical Physics Volume The Classicl Theory of Fields, Fourth Edition, Reed Educaitonal and Professional Publishing ltd 5 S Weinberg, 1972, Gravitation and Cosmology--Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley &e Sons 6] Yunqiang Yu,2001,热大爆炸宇宙学,北京大学出版社 7] Yunqiang Yu,1997,广义相对论引论,北京大学出版社 [8 C. L. Bennett et al., 2003, ApJ 148: 1-27 9 P. Binetruy, 2000, Int. J. Theor. Phys. 39: 1859-1875 [10 D. Branch A M. Khokhlov, 1995, Phys. Rep, 53-67 [11]D. Branch et al., astro-ph/9601006 [12 R. R. Caldwell, 2002, Phys. Lett. B 545: 23-29 [13 P. de Bernardis et al., 2000, Nature 404: 955-959 [14 H. Bondi T Gold, 1948, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 108: 252-270 [15 M. Doran C. Wetterich, astro-ph/0205267 16 G. F.R. Ellis, 1984, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 22: 157-84 [17 K. Freese M. Lewis, 2002, Phys. Lett. B 540: 1 [18 A. H. Guth, 1981, Phys. Rev. D 23: 347 [19 A. H. Guth, 2000, Physics Reports 333-334: 555-574 20 S. Hanany et al., 2000, ApJ 545: L5-L9

北京大学校长基金论文集(2003) 红移研究和宇宙学进展 参考文献 [1] J. Foster & J. D. Nightgale, 1995, A Short Course in General Relativity, Spring– Verlag [2] A. D. French, Special Relativity, W. W. Norton & Company Inc, Newyork 中译本：狭义相对论，张大卫译，1979，人民教育出版社 [3] A. Guth, 1997, The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins, Addison-Wesley [4] L. D. Landau & E. M. Lifshitz, 1975, Course of Theoretical Physics Volume 2: The Classicl Theory of Fields, Fourth Edition, Reed Educaitonal and Professional Publishing Ltd [5] S. Weinberg, 1972, Gravitation and Cosmology—Principles and Applications of the General Theory of Relativity, John Wiley & Sons [6] Yunqiang Yu, 2001, 热大爆炸宇宙学, 北京大学出版社 [7] Yunqiang Yu, 1997, 广义相对论引论, 北京大学出版社 [8] C. L. Bennett et al., 2003, ApJ 148:1-27 [9] P. Bin´etruy, 2000, Int. J. Theor. Phys. 39:1859-1875 [10] D. Branch & A. M. Khokhlov, 1995, Phys. Rep., 53-67 [11] D. Branch et al., astro-ph/9601006 [12] R. R. Caldwell, 2002, Phys. Lett. B 545:23-29 [13] P. de Bernardis et al., 2000, Nature 404:955-959 [14] H. Bondi & T. Gold, 1948, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 108:252-270 [15] M. Doran & C. Wetterich, astro-ph/0205267 [16] G. F. R. Ellis, 1984, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 22:157-84 [17] K. Freese & M. Lewis, 2002, Phys. Lett. B 540:1 [18] A. H. Guth, 1981, Phys. Rev. D 23:347 [19] A. H. Guth, 2000, Physics Reports 333-334:555-574 [20] S. Hanany et al., 2000, ApJ 545:L5-L9 10