第7讲第2章线性空间 HW7-P91-103)8)9)(10),3(4)(5) EX7-1(14)(5),3(1)(2)(6) 复习p64-71:预习p71-79 第2章线性空间内积空间 线性空间是一个重要的代数结构,线性代数主要是研究有限维 线性空间和线性映射的基本性质 重点:1.线性空间的定义,例子,性质; 2.子空间的定义和例子,判别WcV是否为子空间; 2-1线性空间的定义及其简单性质 定义2.1(公理化定义)设V是一个非空集合,F是一个域,在 V上定义加法(记作“+”);在集F×V上定义数量乘法(简称数乘), 即F×V中每个元素(λ,a)+入aeV,如果 (1)<V:+>是一个交换群(加法群) (2)数量乘法满足4条性质,即Vax,β∈V,Vλ,μ∈F以及域F 的乘法单位元1,有 lo λ(px)=(u)a (+H)a=ha+H λ(a+B) 则称V为域F上的线性空间,记作V(F)。如果F是实(复)数域,则 称V为实(复)空间。(对加法,数乘封闭)。 1-1-4-4法规 线性空间也称为向量空间,其元素也称为向量。加法群<V:+>的 单位元记作0 例1系数∈F(数域)的全体多项式组成的集合F[x] 次数小于n的全体多项式的集合F[x],对多项式加法与数乘多 项式运算在数域F上都构成线性空间。 数域F上的n次多项式的集合 p(x)|p(x)=at+ax+…+anx",an≠0 不构成线性空间 例2齐次线性方程组解集合 S={X|AX=0} 称为齐次性方程组的解空间。 例3定义在区间a,b上的全体实值函数,对通常的函数加法和 实数与函数的乘法为实数域R上的线性空间Cab] 思考:下列哪些是线性空间?R(R);R(C),C(R);C(C)? 注意:如果Ⅴ对定义的加法或数乘运算不封闭,或者V对加法 不构成交换群,或者数乘4条性质有一条不满足,则非空集V在F 上不构成线性空间。第 7 讲第 2 章 线性空间 HW7-P91--1(3)(8)(9)(10), 3(4)(5), EX7 `-1(1)(4)(5), 3(1)(2)(6) 复习 p64－71；预习 p71－79 第 2 章线性空间 内积空间 线性空间是一个重要的代数结构，线性代数主要是研究有限维 线性空间和线性映射的基本性质。 重点：1. 线性空间的定义，例子，性质； 2.子空间的定义和例子，判别 WV 是否为子空间； 2-1 线性空间的定义及其简单性质 定义 2.1(公理化定义) 设 V 是一个非空集合，F 是一个域，在 V 上定义加法（记作“+”）；在集 FV 上定义数量乘法(简称数乘)， 即 F  V 中每个元素(,)V，如果： (1) < V:+>是一个交换群(加法群)； (2) 数量乘法满足 4 条性质，即 ,V, ,F 以及域 F 的乘法单位元 1，有： 1= ()=() (+)=+ (+)=+ 则称 V 为域 F 上的线性空间，记作 V(F)。如果 F 是实(复)数域，则 称 V 为实(复)空间。(对加法，数乘封闭)。 1-1-4-4 法规 线性空间也称为向量空间，其元素也称为向量。加法群<V:+>的 单位元记作 0。 例 1 系数F(数域)的全体多项式组成的集合 F[x]; 次数小于 n 的全体多项式的集合 F[x]n，对多项式加法与数乘多 项式运算在数域 F 上都构成线性空间。 数域 F 上的 n 次多项式的集合 {p(x) p(x)=a0+a1x++anx n , an 0} 不构成线性空间。 例 2 齐次线性方程组解集合 S = { X  AX=0} 称为齐次性方程组的解空间。 例 3 定义在区间[a, b]上的全体实值函数，对通常的函数加法和 实数与函数的乘法为实数域 R 上的线性空间 C[a, b]。 思考：下列哪些是线性空间？R(R)；R(C); C(R)；C(C)？ 注意：如果 V 对定义的加法或数乘运算不封闭，或者 V 对加法 不构成交换群，或者数乘 4 条性质有一条不满足，则非空集 V 在 F 上不构成线性空间