§4辛空间 由前一节的讨论,已经得到下面的两点性质: 辛空间(,f中一定能找到一组基E1,E2…,En,E1,E2…E满足 f(E;,E)=1,1≤i≤n, f(E12E,)=0,-n≤i,j≤n,i+j≠0 这样的基称为(,)的辛正交基还可看出辛空间一定是偶数维的 2.任一2n级非退化反对称矩阵K可把一个数域P上2n维空间V化成一个 辛空间,且使K为V的某基,E2…,En,E1,E2,…,En下度量矩阵又此辛空间在 某辛正交基E1,62,…,En 下的度量矩阵为 O E (1) 2n×2n 故K合同于J即任一2n级非退化反对称矩阵皆合同于J 两个辛空间(1,f)及(V2,f2),若有V到V2的作为线性空间的同构织,它满 足 f(u, v)=f,(Ku, Kv) 则称默是(V1,f)到(2,f2)的辛同构 (V1,f)到(2f2)的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把(1,f)的 组辛正交基变成(2f2)的辛正交基 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数 辛空间(,f)到自身的,辛同构称为(,f)上的辛变换取定(,)的一组辛 正交基E1:E2…En,E1E_2,…,En,V上的一个线性变换,在该基下的矩阵为 A B C D 其中A,B,C,D皆为n×n方阵则9是辛变换当且仅当K=J,亦即当且仅当§4 辛空间 由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质： 1. 辛空间 (V, f ) 中一定能找到一组基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  满足 f ( , ) 1, 1 i n ,  i  −i =   f ( i , j ) = 0 , − n  i , j  n , i + j  0 . 这样的基称为 (V, f ) 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的. 2．任一 2n 级非退化反对称矩阵 K 可把一个数域 P 上 2n 维空间 V 化成一个 辛空间，且使 K 为 V 的某基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  下度量矩阵.又此辛空间在 某辛正交基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  下的度量矩阵为 n n E O O E J 2 2         − = , (1) 故 K 合同于 J .即任一 2n 级非退化反对称矩阵皆合同于 J . 两个辛空间 ( , ) 1 1 V f 及 ( , ) 2 2 V f ，若有 V1 到 V2 的作为线性空间的同构 ℜ，它满 足 ( , ) ( , ) f 1 u v = f 2 Ku Kv , 则称 ℜ 是 ( , ) 1 1 V f 到 ( , ) 2 2 V f 的辛同构. ( , ) 1 1 V f 到 ( , ) 2 2 V f 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 ( , ) 1 1 V f 的一 组辛正交基变成 ( , ) 2 2 V f 的辛正交基. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 辛空间 (V, f ) 到自身的，辛同构称为 (V, f ) 上的辛变换.取定 (V, f ) 的一组辛 正交基 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  ，V 上的一个线性变换 ℜ，在该基下的矩阵为 K ，         = C D A B K , 其中 A, B,C, D 皆为 nn 方阵.则 ℜ 是辛变换当且仅当 KJK = J ，亦即当且仅当