下列条件成立 A'C=CA BD=DB AD-CB=E 且易证|K|≠0,及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换 设(V,f是辛空间,u,v∈,满足f(,)=0,则称u,v为辛正交的 W是V的子空间,令 ∈|f(x,)=0,v∈Ⅳ W显然是的子空间,称为W的辛正交补空间 定理7(,∫)是辛空间,W是V的子空间,则 dim W=dim v-dim w 定义9(,∫为辛空间,W为V的子空间若WcW,则称W为(,)的 迷向子空间;若W=W,即W是极大的(按包含关系)迷向子空单间,也称它 为拉格朗日子空间;若W∩W+={0),则W称W为(,的辛了空间 例如,设61,2,…,En,E1,2…En是(,的辛正交基,则L(E1E2…54)是 迷向子空间.L(E1,E2,…En)是极大迷向子空间,即拉格朗日子空间 L(G1,E2…Ek,E1,E2,…,Ek)是辛子空间 对辛空间(,f)的子空间U,W通过验证,并利用定理7,可得下列性质: (1)(W4)2=W (3)若U是辛子空间,则V=U⊕U (4)若U是迷向子空间则dmU≤dm (5)若U是拉格朗日子空间,则dimU=dm 定理8设L是辛空间(,的拉格朗日子空间,{1,E2…,En}是L的基,则 它可扩充为(,)的辛正交基下列条件成立： AC = CA , BD = DB , AD −CB = E 且易证 | K | 0 ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换. 设 (V, f ) 是辛空间， u,v V ,满足 f (u,v) = 0 ，则称 u, v 为辛正交的. W 是 V 的子空间，令 W = u V f u w = wW ⊥ | ( , ) 0 , . (2) ⊥ W 显然是 V 的子空间，称为 W 的辛正交补空间. 定理 7 (V, f ) 是辛空间， W 是 V 的子空间，则 dim W = dimV − dimW ⊥ . 定义 9 (V, f ) 为辛空间， W 为 V 的子空间.若 ⊥ W  W ，则称 W 为 (V, f ) 的 迷向子空间；若 ⊥ W = W ，即 W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它 为拉格朗日子空间；若 = 0 ⊥ W W ，则 W 称 W 为 (V, f ) 的辛了空间. 例如，设 n − − −n  , , , , , , , 1 2  1 2  是 (V, f ) 的辛正交基，则 ( , , , ) L 1 2 k     是 迷向子空间 . ( , , , ) L 1 2 n     是 极 大 迷 向 子 空 间 ， 即 拉 格 朗 日 子 空 间 ( , , , , , , , ) L 1 2 k −1 −2 −k         是辛子空间. 对辛空间 (V, f ) 的子空间 U,W .通过验证，并利用定理 7，可得下列性质： (1) W = W ⊥ ⊥ ( ) , (2) ⊥ ⊥ U  W W  U , (3) 若 U 是辛子空间，则 ⊥ V = U U (4) 若 U 是迷向子空间,则 U dimV 2 1 dim  (5) 若 U 是拉格朗日子空间，则 U dimV 2 1 dim = 定理 8 设 L 是辛空间 (V, f ) 的拉格朗日子空间，  1 , 2 ,  , n  是 L 的基，则 它可扩充为 (V, f ) 的辛正交基