·300· 智能系统学报 第9卷 引值集合。为了描述切换拓扑情形，在这里定义一 B,第i个跟随者和领导者相连 b.(k)= 个切换拓扑图的触发信号变量2：[0，o)→P,这里 (0,其他 2表示在0到无穷区间的任意分散的随机时刻点都 i,j=1,2,…,n,ag>0,B>0。 这里首先对坐标系问题做一个简要说明：文中 指向P中的一个值，即对应着一种拓扑图，其中2个 假定有2个坐标系，一个是绝对坐标系，另一个是领 相邻的随机触发时刻点可能间隔很小也可能很大。 航者坐标系，但无论是领航者还是跟随者，它们的实 文中在切换拓扑下，所有的矩阵都带有下标2以表 际坐标均是基于绝对坐标系的。这里的领航者坐标 示它们是在2的触发下进行变化，为了书写简便， 系定义为：以领航者的绝对坐标作为它自身坐标系 以下均省略下标2。 的坐标原点，并以它的运动方向作为它自身坐标系 2.1新型控制器设计 在文中的Leader-Follower多智能体系统中，领 的x轴正方向。所以领航者自身的坐标系其实是以 航者的运动不受跟随者的影响，并且假定领航者的 领航者的角速度大小（顺时针时其大小为负值）相 速度无法被跟随者实时获取。这里首先介绍一下领 对于绝对坐标系做顺或逆时针方向的旋转，加上领 航者的运动控制律： 航者同时以一定的线速度在运动，故领航者坐标系 相对于绝对坐标系一边做旋转运动一边沿着领航者 xo(k+1)=x(k)+vo(k) 的运动轨迹做平移运动。譬如当领航者做逆时针方 vo(k +1)=vo(k)+a(k) 向的匀速圆周运动时，领航者坐标系相对于绝对坐 a(k)=ao+8(k) 标系则是一边以恒定的角速度做逆时针方向的旋转 式中：x(k)∈Rm是领航者的位置；(k)∈R"是 运动一边以恒定的线速度沿着领航者的圆周运动轨 领航者的速度；a(k)∈Rm是加速度控制输入， 迹做平移运动。 a。∈R是初始加速度值，为已知的：6(k)∈Rm为 式(2)中的p.(k)=R(k)C:∈Rm为实现编队 环境噪声扰动是未知的，但是它有一个给定的上限 的控制参数。其中C:=[p:P]T为绝对坐标系 值δ，即I6(k)‖≤δ，‖δ(k)‖表示8(k)的2 下系统稳定时第i个跟随者相对于领航者的相对坐 范数。文中出现的形如Ⅱ·‖的表达式均表示2 标位置。为描述方便，这里以3个智能体甲为领航 范数，这里m的值可以取任意自然数，但一般取值2 者、乙丙均为跟随者编队成为等腰三角形为例进行 和3，因为取值为2和3时分别表示2维平面和三维 说明，首先假定“前方”指X轴正方向，“上方”指Y 空间，文中所有的上下标的m取值均为2。 轴正方向，那么假定甲在前方，乙和丙在甲的后方且 跟随者的运动控制律如式(1)所示： 乙在丙的上方，同时乙丙连线是等腰三角形底边，设 x,(k+1)=x:(k)+:(k)+du.(k) (1) 定甲乙丙到底边中点的距离都为M,如图1(a)所 u:(k+1)=:(k)+du:(k) 示，则如果此时甲的坐标为(x,y),乙丙的坐标分 式中：x:(k)∈R"是第i个跟随者的位置；，(k)∈ 别为(x1,y)、(x2,y2),那么有 Rm是第i个跟随者的速度；d和r均为控制常量参 P1=x1-x=-M 数，在后面将给出它们的取值范围。 Pn =y-y=M 由于领航者和其他邻居跟随者的速度无法实时 获取，又因为他们的位置信息可以实时得到，故式 P2=x2-x=-M (1)中的u,(k)∈Rm为第i个跟随者的基于邻居位 P2=y2-y=-M 置信息的控制器输入，其表达式为 故当队形一定时P:和P:为定值。为描述简 u,(k)=-[∑a,(k)(x,(k)- 便，这里不妨假设系统稳定时领航者在绝对坐标系 jeN(k) 中的坐标始终为(0,0)，那么C则可看成第i个跟 P:(k))-(x(k)-P(k)))+ 随者在绝对坐标系的坐标，做这样的假设后可以随 b.(k)((x(k)-P,(k))-x(k))] 意设定跟随者坐标以实现任意形状编队。R,(k)表 (2)》 达式为 式中： Tcos(0.(k))-sin(0.(k))1 a,第i个跟随者和第j个跟随者相连 R(k)= sin(0.(k)) cos(0(k)) a,(k)= 0,其他 它为第i个跟随者第k时刻的坐标旋转矩阵，引值集合。 为了描述切换拓扑情形，在这里定义一 个切换拓扑图的触发信号变量 Ω：［０，¥） → Ｐ ～ ，这里 Ω 表示在 ０ 到无穷区间的任意分散的随机时刻点都 指向 Ｐ ～ 中的一个值，即对应着一种拓扑图，其中 ２ 个 相邻的随机触发时刻点可能间隔很小也可能很大。 文中在切换拓扑下，所有的矩阵都带有下标 Ω 以表 示它们是在 Ω 的触发下进行变化，为了书写简便， 以下均省略下标 Ω 。 ２．１ 新型控制器设计 在文中的 Ｌｅａｄｅｒ⁃Ｆｏｌｌｏｗｅｒ 多智能体系统中，领 航者的运动不受跟随者的影响，并且假定领航者的 速度无法被跟随者实时获取。 这里首先介绍一下领 航者的运动控制律： ｘ０（ｋ ＋ １） ＝ ｘ０（ｋ） ＋ ｖ０（ｋ） ｖ０（ｋ ＋ １） ＝ ｖ０（ｋ） ＋ ａ（ｋ） ａ（ｋ） ＝ ａ０ ＋ δ（ｋ） ì î í ï ï ï ï 式中： ｘ０（ｋ） ∈ Ｒ ｍ 是领航者的位置； ｖ０（ｋ） ∈ Ｒ ｍ 是 领航者的速度； ａ（ｋ） ∈ Ｒ ｍ 是加速度控制输入， ａ０ ∈Ｒ ｍ 是初始加速度值，为已知的； δ（ｋ） ∈ Ｒ ｍ 为 环境噪声扰动是未知的，但是它有一个给定的上限 值 δ － ，即 ‖δ（ｋ）‖ ≤ δ － ， ‖δ（ｋ）‖ 表示 δ（ｋ） 的 ２ 范数。 文中出现的形如 ‖·‖ 的表达式均表示 ２ 范数，这里 ｍ 的值可以取任意自然数，但一般取值 ２ 和 ３，因为取值为 ２ 和 ３ 时分别表示 ２ 维平面和三维 空间，文中所有的上下标的 ｍ 取值均为 ２。 跟随者的运动控制律如式（１）所示： ｘｉ（ｋ ＋ １） ＝ ｘｉ（ｋ） ＋ ｖｉ（ｋ） ＋ ｄｕｉ（ｋ） ｖｉ（ｋ ＋ １） ＝ ｖ { ｉ（ｋ） ＋ ｄｒｕｉ（ｋ） （１） 式中： ｘｉ（ｋ） ∈ Ｒ ｍ是第 ｉ 个跟随者的位置； ｖｉ（ｋ） ∈ Ｒ ｍ是第 ｉ 个跟随者的速度； ｄ 和 ｒ 均为控制常量参 数，在后面将给出它们的取值范围。 由于领航者和其他邻居跟随者的速度无法实时 获取，又因为他们的位置信息可以实时得到，故式 （１）中的 ｕｉ（ｋ） ∈ Ｒ ｍ 为第 ｉ 个跟随者的基于邻居位 置信息的控制器输入，其表达式为 ｕｉ（ｋ） ＝ － ［ ｊ∈∑Ｎｉ （ｋ） ａｉｊ（ｋ）（（ｘｉ（ｋ） － ｐｉ（ｋ）） － （ｘｊ（ｋ） － ｐｊ（ｋ））） ＋ ｂｉ（ｋ）（（ｘｉ（ｋ） － ｐｉ（ｋ）） － ｘ０（ｋ））］ （２） 式中： ａｉｊ（ｋ） ＝ αｉｊ，第 ｉ 个跟随者和第 ｊ 个跟随者相连 ０，其他 { ｂｉ（ｋ） ＝ βｉ，第 ｉ 个跟随者和领导者相连 ０， 其他 { ｉ，ｊ ＝ １，２，…，ｎ ， αｉｊ ＞ ０， βｉ ＞ ０。 这里首先对坐标系问题做一个简要说明：文中 假定有 ２ 个坐标系，一个是绝对坐标系，另一个是领 航者坐标系，但无论是领航者还是跟随者，它们的实 际坐标均是基于绝对坐标系的。 这里的领航者坐标 系定义为：以领航者的绝对坐标作为它自身坐标系 的坐标原点，并以它的运动方向作为它自身坐标系 的 ｘ 轴正方向。 所以领航者自身的坐标系其实是以 领航者的角速度大小（顺时针时其大小为负值） 相 对于绝对坐标系做顺或逆时针方向的旋转，加上领 航者同时以一定的线速度在运动，故领航者坐标系 相对于绝对坐标系一边做旋转运动一边沿着领航者 的运动轨迹做平移运动。 譬如当领航者做逆时针方 向的匀速圆周运动时，领航者坐标系相对于绝对坐 标系则是一边以恒定的角速度做逆时针方向的旋转 运动一边以恒定的线速度沿着领航者的圆周运动轨 迹做平移运动。 式（２）中的 ｐｉ（ｋ） ＝ Ｒｉ（ｋ） Ｃｉ ∈ Ｒ ｍ 为实现编队 的控制参数。 其中 Ｃｉ ＝ ［ｐｘ ｉ ｐｙｉ］ Ｔ 为绝对坐标系 下系统稳定时第 ｉ 个跟随者相对于领航者的相对坐 标位置。 为描述方便，这里以 ３ 个智能体甲为领航 者、乙丙均为跟随者编队成为等腰三角形为例进行 说明，首先假定“前方”指 Ｘ 轴正方向，“上方”指 Ｙ 轴正方向，那么假定甲在前方，乙和丙在甲的后方且 乙在丙的上方，同时乙丙连线是等腰三角形底边，设 定甲乙丙到底边中点的距离都为 Ｍ ，如图 １（ ａ）所 示，则如果此时甲的坐标为 （ｘ，ｙ） ，乙丙的坐标分 别为 （ｘ１ ，ｙ１ ） 、 （ｘ２ ，ｙ２ ） ，那么有 ｐｘ１ ＝ ｘ１ － ｘ ＝ － Ｍ ｐｙ１ ＝ ｙ１ { － ｙ ＝ Ｍ ｐｘ２ ＝ ｘ２ － ｘ ＝ － Ｍ ｐｙ２ ＝ ｙ２ { － ｙ ＝ － Ｍ 故当队形一定时 ｐｘ ｉ 和 ｐｙｉ 为定值。 为描述简 便，这里不妨假设系统稳定时领航者在绝对坐标系 中的坐标始终为（０，０），那么 Ｃｉ 则可看成第 ｉ 个跟 随者在绝对坐标系的坐标，做这样的假设后可以随 意设定跟随者坐标以实现任意形状编队。 Ｒｉ（ｋ） 表 达式为 Ｒｉ（ｋ） ＝ ｃｏｓ（θｉ（ｋ）） － ｓｉｎ（θｉ（ｋ）） ｓｉｎ（θｉ（ｋ）） ｃｏｓ（θｉ（ｋ）） é ë ê ê ù û ú ú 它为第 ｉ 个跟随者第 ｋ 时刻的坐标旋转矩阵， ·３００· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷