第3期 王中林，等：一种多智能体领航跟随编队新型控制器的设计 ·301- 它能将第i个跟随者在绝对坐标系中相对于领航者 x(+1)=((I-dH)I)x(k)+v(k)+ 的相对坐标转换成在领航者坐标系中相对于领航者 的坐标，以实现系统稳定编队时整个队形能够在沿 d(H☒Im)p(k) 着领航者运动轨迹做平移运动的同时，又能以领航 v(k+1)=dr(H☒Im)p(k)-1.☒(a(k)+ 者的角速度大小相对于绝对坐标系做顺或逆时针方 δ(k))-dr(H☒Im)x(k)+(k) 向的旋转，如图1为转换前后示意图。其中的 (5) 日，(k)为第i个跟随者第k时刻的运动方向与绝对 式中：I.为n×n的单位对角矩阵，H=L+B。 坐标系中X轴正方向之间的夹角，当系统稳定编队 令差值变量为 时可近似为领航者的运动方向和绝对坐标系中X ( (k 轴正方向之间的夹角如图1(b)中的8，范围为 (-T,T)。 (k)」 则可将式(5)化简为 (k+1)=(F☒Im)5(k)+g (6) 「In-dHIn 式中：F= drH 8= d(H☒Im)p(k) (a)转换前 (b)转换后 dr(H☒In)p(k)-1n☒(a(k)+6(k)) (7) 图1相对坐标转换对比图 Fig.1 The comparison of Relative coordinate transfor- 在给出重要结论之前，这里先给出几个引理。 mation 引理1如果图G是连通的，那么对称矩阵H 是正定的。 2.2主要结论 引理2(Routh-Hurwitz theorem)假设一个形 这里将给出文中的一些主要结论，同时对式 (1)中的控制参数d和r的范围做一个界定。 如aox”+a1x-1+…+a.-1x+an=0的n阶多项式， 这里a>0, 为了方便后期的公式推导，这里首先将式(1)》 矩阵化处理。定义： △1=a1 a ao △2= a3 a Xn ao 0 0 则由式(1)和(2)化简可得 ar 0 (x(k+1)=x(k)+v(k)+du(k) 03 a2 0 = v(k+1)=v(k)+dru(k) u(k)=-((L+B)I)(x(k)-p(k))+ a2n-1 a2m-2 a2m-3 ...a (B1.)⑧x(k) 则如果i>n,a:=0,当且仅当a1>0,42>0,, 4-1>0,a。>0时多项式的所有根有负实部。 (3) 引理2说明了判定一个给定的系统是否是 式中：1m为m×m的单位对角矩阵，1.为n维全1 Hurwitz稳定的，就要看这个系统所对应的特征多项 列向量，即1。=[11…1]。 式所有的根是否都存在负实部[6] 定义跟随者和领航者之间的位置差x(k)和速 引理3(Schur complement)[] 对于一个形如 度差v(k)如下： 下式的对称矩阵S, 「SS2 x(k)=x(k)-1.☒x(k) S= (4) (k)=v(k)-1.☒'(k) 这里S,和S2是方阵，那么下列条件等价： 则由式(3)和(4)化简得 1)S<0它能将第 ｉ 个跟随者在绝对坐标系中相对于领航者 的相对坐标转换成在领航者坐标系中相对于领航者 的坐标，以实现系统稳定编队时整个队形能够在沿 着领航者运动轨迹做平移运动的同时，又能以领航 者的角速度大小相对于绝对坐标系做顺或逆时针方 向的旋 转， 如 图 １ 为 转 换 前 后 示 意 图。 其 中 的 θｉ（ｋ） 为第 ｉ 个跟随者第 ｋ 时刻的运动方向与绝对 坐标系中 Ｘ 轴正方向之间的夹角，当系统稳定编队 时可近似为领航者的运动方向和绝对坐标系中 Ｘ 轴正方向之间的夹角如图 １ （ ｂ） 中的 θ ，范围为 ( － π，π) 。 图 １ 相对坐标转换对比图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ｒｅｌａｔｉｖｅ ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ｔｒａｎｓｆｏｒ⁃ ｍａｔｉｏｎ ２．２ 主要结论 这里将给出文中的一些主要结论，同时对式 （１）中的控制参数 ｄ 和 ｒ 的范围做一个界定。 为了方便后期的公式推导，这里首先将式（１） 矩阵化处理。 定义： ｘ ＝ ｘ１ ︙ ｘｎ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ， ｖ ＝ ｖ１ ︙ ｖｎ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ， ｐ ＝ ｐ１ ︙ ｐｎ é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 则由式（１）和（２）化简可得 ｘ（ｋ ＋ １） ＝ ｘ（ｋ） ＋ ｖ（ｋ） ＋ ｄｕ（ｋ） ｖ（ｋ ＋ １） ＝ ｖ（ｋ） ＋ ｄｒｕ（ｋ） ｕ（ｋ） ＝ － （（Ｌ ＋ Ｂ） 􀱋 Ｉｍ ）（ｘ（ｋ） － ｐ（ｋ）） ＋ （Ｂ １ｎ ） 􀱋 ｘ０（ｋ） ì î í ï ïï ï ïï （３） 式中： Ｉｍ 为 ｍ × ｍ 的单位对角矩阵， １ ｎ 为 ｎ 维全 １ 列向量，即 １ ｎ ＝ [１ １ … １] Ｔ 。 定义跟随者和领航者之间的位置差 ｘ － （ｋ） 和速 度差 ｖ － （ｋ） 如下： ｘ － （ｋ） ＝ ｘ（ｋ） － １ｎ 􀱋 ｘ０（ｋ） ｖ － （ｋ） ＝ ｖ（ｋ） － １ｎ 􀱋 ｖ０（ｋ） { （４） 则由式（３）和（４）化简得 ｘ － （ｋ ＋ １） ＝ （（Ｉｎ － ｄＨ） 􀱋 Ｉｍ ）ｘ － （ｋ） ＋ ｖ － （ｋ） ＋ ｄ（Ｈ 􀱋 Ｉｍ ）ｐ（ｋ） ｖ － （ｋ ＋ １） ＝ ｄｒ（Ｈ 􀱋 Ｉｍ ）ｐ（ｋ） － １ｎ 􀱋 （ａ０（ｋ） ＋ δ（ｋ）） － ｄｒ（Ｈ 􀱋 Ｉｍ ）ｘ － （ｋ） ＋ ｖ － （ｋ） ì î í ï ï ï ï ï ï （５） 式中： Ｉｎ 为 ｎ × ｎ 的单位对角矩阵， Ｈ ＝ Ｌ ＋ Ｂ 。 令差值变量为 ξ（ｋ） ＝ ｘ － （ｋ） ｖ － （ｋ） é ë ê êê ù û ú úú 则可将式（５）化简为 ξ（ｋ ＋ １） ＝ （Ｆ 􀱋 Ｉｍ ）ξ（ｋ） ＋ ｇ （６） 式中： Ｆ ＝ Ｉｎ － ｄＨ Ｉｎ － ｄｒＨ Ｉｎ é ë ê ê ù û ú ú ｇ ＝ ｄ（Ｈ 􀱋 Ｉｍ ）ｐ（ｋ） ｄｒ（Ｈ 􀱋 Ｉｍ ）ｐ（ｋ） － １ｎ 􀱋 （ａ０（ｋ） ＋ δ（ｋ）） é ë ê ê ù û ú ú （７） 在给出重要结论之前，这里先给出几个引理。 引理 １ 如果图 Ｇ 是连通的，那么对称矩阵 Ｈ 是正定的［１１］ 。 引理 ２（Ｒｏｕｔｈ－Ｈｕｒｗｉｔｚ ｔｈｅｏｒｅｍ） 假设一个形 如 ａ０ ｘ ｎ ＋ ａ１ ｘ ｎ－１ ＋ … ＋ ａｎ－１ ｘ ＋ ａｎ ＝ ０ 的 ｎ 阶多项式， 这里 ａ０ ＞ ０， Δ１ ＝ ａ１ Δ２ ＝ ａ１ ａ０ ａ３ ａ２ ︙ Δｎ ＝ ａ１ ａ０ ０ … ０ ａ３ ａ２ ａ１ … ０ ︙ ︙ ︙ ︙ ａ２ｎ－１ ａ２ｎ－２ ａ２ｎ－３ … ａｎ 则如果 ｉ ＞ ｎ，ａｉ ＝ ０，当且仅当 ａ１ ＞ ０，Δ２ ＞ ０，…， Δｎ－１ ＞ ０，ａｎ ＞ ０ 时多项式的所有根有负实部。 引理 ２ 说明了判定一个给定的系统是否是 Ｈｕｒｗｉｔｚ 稳定的，就要看这个系统所对应的特征多项 式所有的根是否都存在负实部［１６］ 。 引理 ３（Ｓｃｈｕｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔ） ［１７］ 对于一个形如 下式的对称矩阵 Ｓ， Ｓ ＝ Ｓ１１ Ｓ１２ Ｓ Ｔ １２ Ｓ２２ é ë ê ê ù û ú ú 这里 Ｓ１１ 和 Ｓ２２ 是方阵，那么下列条件等价： １） Ｓ ＜ ０ 第 ３ 期 王中林，等：一种多智能体领航跟随编队新型控制器的设计 ·３０１·