·302· 智能系统学报 第9卷 2)S1<0,S2-ShSS2<0 根都有负实部时，矩阵F才是Schr稳定的。 3)S2<0,S11-S12S2S12<0 由于入(H)>0,结合式(9)，通过引理2可知， 接下来介绍一下文中的2个重要的定理结论。 欲使F是Schur稳定的，可得当且仅当正的常量r和 定理1是关于固定拓扑情况下系统能够达到稳定编 d满足(1-r)d>0、(r-2)d入.(H)+4>0,即0< 队的充分条件，而定理2是关于切换拓扑情况下系 r<1,0<d<4/((2-r)入m)时才能达到要求，这 统能够达到稳定编队的充分条件。 里的入m表示H的特征值入：(H)中的最大值，i= 定理1已知连接拓扑图G是固定的，并且在 1,2,…,n。 任意时刻k都是连通的，此时L和B都是恒定矩阵。 所以当0<r<10<d<4/((2-r)入m)时， 则使得系统(3)稳定编队的充分条件是：对任何给 F是Schur稳定的，相应的F☒In也是Schur稳定的。 定的0<r<1,d取值满足0<d<4/((2- 又由于在队形固定的情况下，P和P:是固定 r)入m),并且存在一个常量C,使得 的，则二者可以看成是常量，所以易知式(7)中的参数 liml(k)‖≤C 除δ(k)外均为常量，由于‖δ(k)‖≤δ，所以在给 式中：入m表示H的最大特征值。常数C由3组常 定常量r、d、ao(k)、δ、Pa和P:情况下‖g‖≤ 量6，PtPi共同决定，i=1,2,…,n,特别地，当 C。,这里的C。是基于上述这些常量值的大小而定的 8=0,Pm=0,Pi=0时，有 有界值。所以Ⅱg‖是有界的，因此在给定条件下存 在一个常量C使得： liml(k)‖=0 limll(k)‖≤C 式中：δ表征领航者受到环境扰动的。 定理1证毕。 证明由已知条件可知，由于图G是固定拓扑 从定理1的证明过程可以看出，系统稳定编队的 且在任意时刻k是连通的，则根据引理1可知，对称 充分条件中的τ的取值范围在连接拓扑图不变的情 矩阵H是正定的。 况下是固定的，且此时d的取值范围随r取值的增大 令U为矩阵H的Schur转换矩阵（酉矩阵），则 而增大。接下来的定理2是切换连接拓扑图情况下， 「A,(H) 0 0 0 系统达到稳定编队时的充分条件，即此时r和d需满 0 入2(H) 0 0 UHU=T:= 足的取值范围。 定理2已知切换连接拓扑图G在任意时刻k 0 0 0 入.(H) 都是连通的，此时L和B均随2的变化做相应的改 变即它们都是可变矩阵，但在2次相邻拓扑切换时刻 这里入，(H)表示矩阵H的第i个特征值，由于 点之间是恒定的。则使得系统(3)稳定编队的充分条 矩阵H是正定的，所以入.(H)>0。 件是：对任何给定的0<r<2入ma/八入m+入mx）,d 取值满足： 得 (2-r）入in <d< (10) 入 并且存在一个常量C,使得： liml(k)‖≤C 计算|s12n-F=0化简并整理可得式(8)： 式中：入m为H的最小特征值，入m表示H的最大特 Π[s2+(dA,(H)-2)s+(r-1)dA,(H)+1]=0 征值。常数C由3组常量δP:P:共同决定，i=1, (8) 2,…,n。特别地，当8=0，Pm=0P=0时，有 对式(8)应用双线性变换s=(t+1)/(t-1),整理 liml(k)‖=0 0 可以得到式(9)： 式中：δ表征领航者受到环境扰动。 证明构造一个李雅普诺夫函数 i[dA,()2+21-r)dA,(Hz+ (9) V(E)=ETPe (r-2)dλ(H)+4]=0 其中对称矩阵P为 上面的双线性变换是把S平面上单位圆内部区 2r21n n=q☒1m 域映射到复平面t的左半区域。只有当式(9)的所有 -r1２） Ｓ１１ ＜ ０， Ｓ２２ － Ｓ Ｔ １２ Ｓ －１ １１ Ｓ１２ ＜ ０ ３） Ｓ２２ ＜ ０， Ｓ１１ － Ｓ１２ Ｓ －１ ２２ Ｓ Ｔ １２ ＜ ０ 接下来介绍一下文中的 ２ 个重要的定理结论。 定理 １ 是关于固定拓扑情况下系统能够达到稳定编 队的充分条件，而定理 ２ 是关于切换拓扑情况下系 统能够达到稳定编队的充分条件。 定理 １ 已知连接拓扑图 Ｇ 是固定的，并且在 任意时刻 ｋ 都是连通的，此时 Ｌ 和 Ｂ 都是恒定矩阵。 则使得系统（３）稳定编队的充分条件是：对任何给 定的 ０ ＜ ｒ ＜ １， ｄ 取值满足 ０ ＜ ｄ ＜ ４ ／ （（２ － ｒ）λ ｍａｘ） ，并且存在一个常量 Ｃ ，使得 ｌｉｍ ｋ→¥ ‖ξ（ｋ）‖ ≤ Ｃ 式中： λ ｍａｘ 表示 Ｈ 的最大特征值。 常数 Ｃ 由 ３ 组常 量 δ － ，ｐｘｉ，ｐｙｉ 共同决定， ｉ ＝ １，２，…，ｎ ，特别地，当 δ － ＝０，ｐｘｉ ＝ ０，ｐｙｉ ＝ ０ 时，有 ｌｉｍ ｋ→¥ ‖ξ（ｋ）‖ ＝ ０ 式中： δ － 表征领航者受到环境扰动的。 证明 由已知条件可知，由于图 Ｇ 是固定拓扑 且在任意时刻 ｋ 是连通的，则根据引理 １ 可知，对称 矩阵 Ｈ 是正定的。 令 Ｕ 为矩阵 Ｈ 的 Ｓｃｈｕｒ 转换矩阵（酉矩阵），则 Ｕ ＴＨＵ ＝ Ｔ： ＝ λ１（Ｈ） ０ ０ ０ ０ λ２（Ｈ） ０ ０ ︙ ︙ ︙ ０ ０ ０ λｎ（Ｈ） é ë ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 这里 λｉ（Ｈ） 表示矩阵 Ｈ 的第 ｉ 个特征值，由于 矩阵 Ｈ 是正定的，所以 λｉ（Ｈ） ＞ ０。 令： Ｕ － ＝ Ｕ ０ ０ Ｕ é ë ê ê ù û ú ú ，由于 Ｆ ＝ Ｉｎ － ｄＨ Ｉｎ － ｄｒＨ Ｉｎ é ë ê ê ù û ú ú ，得 Ｆ ～ ： ＝ Ｕ － ＴＦＵ － ＝ Ｉｎ － ｄＴ Ｉｎ － ｄｒＴ Ｉｎ é ë ê ê ù û ú ú 计算 ｓ Ｉ２ｎ － Ｆ ～ ＝ ０ 化简并整理可得式（８）： ∏ ｎ ｉ ＝ １ ［ｓ ２ ＋ （ｄλｉ（Ｈ） － ２）ｓ ＋ （ｒ － １）ｄλｉ（Ｈ） ＋ １］ ＝ ０ （８） 对式（８）应用双线性变换 ｓ ＝ （ｔ ＋ １） ／ （ｔ － １） ，整理 可以得到式（９）： ∏ ｎ ｉ ＝ １ ［ｒｄλｉ（Ｈ）ｔ ２ ＋ ２（１ － ｒ）ｄλｉ（Ｈ）ｔ ＋ （ｒ － ２）ｄλｉ（Ｈ） ＋ ４］ ＝ ０ （９） 上面的双线性变换是把 Ｓ 平面上单位圆内部区 域映射到复平面 ｔ 的左半区域。 只有当式（９）的所有 根都有负实部时，矩阵 Ｆ 才是 Ｓｃｈｕｒ 稳定的。 由于 λｉ（Ｈ） ＞ ０，结合式（９），通过引理 ２ 可知， 欲使 Ｆ 是 Ｓｃｈｕｒ 稳定的，可得当且仅当正的常量 ｒ 和 ｄ 满足 （１ － ｒ）ｄ ＞ ０、（ｒ － ２）ｄλｉ（Ｈ） ＋ ４ ＞ ０，即 ０ ＜ ｒ ＜ １，０ ＜ ｄ ＜ ４／ （（２ － ｒ）λ ｍａｘ） 时才能达到要求，这 里的 λ ｍａｘ 表示 Ｈ 的特征值 λｉ（Ｈ） 中的最大值， ｉ ＝ １，２，…，ｎ 。 所以当 ０ ＜ ｒ ＜ １、０ ＜ ｄ ＜ ４／ （（２ － ｒ）λ ｍａｘ） 时， Ｆ 是 Ｓｃｈｕｒ 稳定的，相应的 Ｆ 􀱋Ｉｍ 也是 Ｓｃｈｕｒ 稳定的。 又由于在队形固定的情况下， ｐｘｉ 和 ｐｙｉ 是固定 的，则二者可以看成是常量，所以易知式（７）中的参数 除 δ（ｋ） 外均为常量，由于 ‖δ（ｋ）‖ ≤ δ － ，所以在给 定常量 ｒ 、 ｄ 、 ａ０（ｋ） 、 δ － 、 ｐｘｉ 和 ｐｙｉ 情况下 ‖ｇ‖ ≤ Ｃ０ ， 这里的 Ｃ０ 是基于上述这些常量值的大小而定的 有界值。 所以 ‖ｇ‖ 是有界的，因此在给定条件下存 在一个常量 Ｃ 使得： ｌｉｍ ｋ→¥ ‖ξ（ｋ）‖ ≤ Ｃ 定理 １ 证毕。 从定理 １ 的证明过程可以看出，系统稳定编队的 充分条件中的 ｒ 的取值范围在连接拓扑图不变的情 况下是固定的，且此时 ｄ 的取值范围随 ｒ 取值的增大 而增大。 接下来的定理 ２ 是切换连接拓扑图情况下， 系统达到稳定编队时的充分条件，即此时 ｒ 和 ｄ 需满 足的取值范围。 定理 ２ 已知切换连接拓扑图 Ｇ 在任意时刻 ｋ 都是连通的，此时 Ｌ 和 Ｂ 均随 Ω 的变化做相应的改 变即它们都是可变矩阵，但在 ２ 次相邻拓扑切换时刻 点之间是恒定的。 则使得系统（３）稳定编队的充分条 件是：对任何给定的 ０ ＜ ｒ ＜ ２λ ｍｉｎ ／ （λ ｍｉｎ ＋ λ ｍａｘ） ， ｄ 取值满足： ２ｒ （２ － ｒ）λｍｉｎ ＜ ｄ ＜ ２ λｍａｘ （１０） 并且存在一个常量 Ｃ ，使得： ｌｉｍ ｋ→¥ ‖ξ（ｋ）‖ ≤ Ｃ 式中： λ ｍｉｎ 为 Ｈ 的最小特征值， λ ｍａｘ 表示 Ｈ 的最大特 征值。 常数 Ｃ 由 ３ 组常量 δ － 、ｐｘｉ、ｐｙｉ 共同决定， ｉ ＝ １， ２，…，ｎ 。 特别地，当 δ － ＝ ０，ｐｘｉ ＝ ０，ｐｙｉ ＝ ０ 时，有 ｌｉｍ ｋ→¥ ‖ξ（ｋ）‖ ＝ ０ 式中： δ － 表征领航者受到环境扰动。 证明 构造一个李雅普诺夫函数 Ｖ（ε） ＝ ε ＴＰε 其中对称矩阵 Ｐ 为 Ｐ ＝ ２ｒ ２ Ｉｎ － ｒ Ｉｎ － ｒ Ｉｎ Ｉｎ é ë ê ê ù û ú ú 􀱋 Ｉｍ ＝ ｑ 􀱋 Ｉｍ ·３０２· 智 能 系 统 学 报 第 ９ 卷