第七章定积分 注意:由∫/(x)收敛不能推出j1x)女收敛 若∫(x)收敛,则称∫(x)d女绝对收敛 若f(x)收敛而「f(x)x发散,则称f(x)x条件收斂 5)关于乘积函数广义积分的收敛性结论 A)设f,g:{a+x)→R,g有界,∫不变号(x)收敛,则 f(x)·g(x)x收敛,且彐,「f(x):g(x)dx=|g(x)dr 证明1:利用收敛原理,设m≤g(x)≤M,f(x)≥0 首先:m2∫f(x)≤「f(x)g(x)d≤M2∫f(x)h 其次V20320.>B. E≤|f(x)g(x)lx≤E (x)·g(x)dx收敛 最后,由mJ「f(x)≤∫f(xg(x)k≤sMJf(x)h 令4=|f(x)g(x)/f(x)x,从而有: f(x)(x)tk=「f(x)a 证明2,利用比较判敛证「f(x)8(x)的收敛性 x∈[a+∞),|f(x)g(x)≤Mgf(x) 第七章定积分第七章 定积分 第七章 定积分 注意：由  + a f (x)dx 收敛不能推出  + a f (x) dx 收敛, 若  + a f (x) dx 收敛, 则称  + a f (x)dx 绝对收敛; 若  + a f (x)dx 收敛而  + a f (x) dx 发散, 则称  + a f (x)dx 条件收敛. 5) 关于乘积函数广义积分的收敛性结论： A) 设 f , g :[a,+) → R , g 有界, f 不变号  + a f (x)dx 收敛，则  +  a f (x) g(x)dx 收敛, 且  ,   + +  = a a f (x) g(x)dx  g(x)dx 。 证明 1：利用收敛原理, 设 g M g m  g(x)  , f (x)  0 . 首先：      2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b g b b b b mg f x dx f x g x dx M f x dx . 其次，   0, B  0 , b1 ,b2  B , g b b M f x dx    2 1 ( ) ,  −      2 1 ( ) ( ) b b f x g x dx   +  a f (x) g(x)dx 收敛. 最后，由    + + +   a g a a mg f (x)dx f (x)g(x)dx M f (x)dx , 令   + + = a a  f (x)g(x)dx f (x)dx , 从而有：   + + = a a f (x)g(x)dx  f (x)dx . 证明 2, 利用比较判敛证  +  a f (x) g(x)dx 的收敛性: x [a,+), f (x)g(x) M f (x)  g