第七章定积分 注意:「f(x)dtx≠lmn「f(x)d 因为对任何奇函数都有: f(x)dx=lm f(x)dr= lim(o)=0 C→+ B)性质:设∫,g:[a,b)→>R,可积。 1)若|f(1)d和「g(dt收敛,则 a(+k()h=a(0+ 2) Cauchy收敛原理: f(x)d收敛VE>0,3M>0,Vb,b2>M,f(x)dsE 3)若f:[a+∞)→R,f(x)≥0,F(x)=f()t则 F(x)在[a+∞)中有上界台「f(x)dtx收敛 证明:因为F(x)=「f()单调增有上界 推论比较收敛法则:若∫,g:[a+∞)→R,f(x)≥g(x),则 (1)|f(x)x收敛→|g(x)dt收敛 2)g(x)女发散→|f(x)d发散 4)设f{+)→R,若f(x)女收敛,则 f(x)收敛,且f(x)sf(x)r 第七章定积分第七章 定积分 第七章 定积分 注意:   − →+ + −  c c c f (x)dx lim f (x)dx . 因为对任何奇函数都有： ( ) = lim ( ) = lim (0) = 0 →+ − →+ + −   c c c c f x dx f x dx B) 性质：设 f , g :[a,b) → R, 可积。 1) 若  + a f (t)dt 和  + a g(t)dt 收敛, 则 ( )    + + + + = + a a a f (t) g(t) dt  f (t)dt  g(t)dt . 2) Cauchy 收敛原理:  + a f (x)dx 收敛    0, M  0 ,      2 1 , , ( ) 1 2 b b b b M f x dx . 3) 若 f :[a,+) → R , f (x)  0 ,  = x a F(x) f (t)dt 则 F(x) 在 [a,+) 中有上界   + a f (x)dx 收敛. 证明：因为  = x a F(x) f (t)dt 单调增有上界。 推论 比较收敛法则: 若 g a + → R+ f , :[ , ) , f (x)  g(x), 则 (1)  + a f (x)dx 收敛   + a g(x)dx 收敛. (2)  + a g(x)dx 发散   + a f (x)dx 发散. 4) 设 f :[a,+) → R ，若  + a f (x) dx 收敛，则  + a f (x)dx 收敛, 且   + +  a a f (x)dx f (x) dx