(15-3),即 x,,y, x,,yu, Im)=0 G=1,2,…s) 对约束方程求一阶变分,则得 6x.+ af,. af ax -Syi a2i 6z|=0(=1,2,…,s) 式(15-5)表示,给质点系的虚位移时,质点系3n个质点的坐标变分应满足s个方程, 也就是说,只有3n-s个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此,对于具 有定常几何约束的质点系,确定其几何位置的独立坐标的数目,亦称为质点系的自由度。 3.广义坐标( Generalized coordinates) 在许多实际问题中,采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述,我们可取 3n-s个独立的参数便能完全确定系统的位形,这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数,称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统, 显然,广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统,如系统具有k=3n-s个自由度,广义坐标以 q,(=1,2,…,k)表示,则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数,即 1,q2 x,=x、(q1 y=y(gr qk (=12…,n) (15-7) 1=2(1,q2 4 图155表示一个在Oxy面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成,受到两个几 何约束,其约束方程为 (g) M1(x1,y2) (x2-x1)2+(v2-y1)2 oM2(x2,y2) 所以,该质点系的广义坐标数(或自由度数)为 k=2 图15-5 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程(g)和(h),两个广义坐标可 以从x1和y中选一个,另一个在x2和y2中选取。也可以选取角仍1和2作为系统的广义 坐标,因为按照约束条件,仍和四2是相互独立的,且一旦给定了1和q2,则质点M和5 （15-3），即 f (x y z x y z ) ( j s) j n n n , , ; ; , , 0 1, 2, , 1 1 1 " = = " 对约束方程求一阶变分，则得 z ( ) j s z f y y f x x f i i j i i j i i j n i 0 1, 2, , 1 ⎟ ⎟ = = " ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑= δ δ δ （15-5） 式（15-5）表示，给质点系的虚位移时，质点系 3n 个质点的坐标变分应满足 s 个方程， 也就是说，只有 3 n - s 个变分是独立的。它正好等于质点独立坐标的数目。因此，对于具 有定常几何约束的质点系，确定其几何位置的独立坐标的数目，亦称为质点系的自由度。 3．广义坐标（Generalized coordinates） 在许多实际问题中，采用直角坐标法确定系统的位形并不方便。如上所述，我们可取 3 n - s 个独立的参数便能完全确定系统的位形，这些定参数可以是长度、角度、弧长等。 能够完全确定质点系位形的独立参数，称为系统的广义坐标。对于定常的几何约束系统， 显然，广义坐标的数目就等于系统的自由度数。 对于我们所讨论的定常的完整系统，如系统具有 k = 3 n - s 个自由度，广义坐标以 q ( ) i k i =1,2,", 表示，则任一瞬时系统中每一质点的矢径和直角坐标都可以表示为广义 坐标的函数，即 ( ) q q q (i n) i i k , , , 1,2, , r = r 1 2 " = " （15-6） ( ) ( ) ( ) ( ) i n z z q q q y y q q q x x q q q i i k i i k i i k 1,2, , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 " " " " = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = = = （15-7） 图 15-5 表示一个在 Oxy 面内运动二级摆。这个质点系由两个质点组成，受到两个几 何约束，其约束方程为 2 1 2 1 2 1 x + y = l （g） ( )( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y = l （h） 所以，该质点系的广义坐标数（或自由度数）为 k = 2n − s = 2 系统的位置用两个独立的参变量给定。按照约束方程（g）和（h），两个广义坐标可 以从 x1 和 y1中选一个，另一个在 x2和 y2 中选取。也可以选取角ϕ1 和ϕ 2 作为系统的广义 坐标，因为按照约束条件，ϕ1 和ϕ 2 是相互独立的，且一旦给定了ϕ1 和ϕ 2 ，则质点 M1和 l2 l1 θ2 θ1 O x y M2(x2，y2) M1(x1，y2) 图 15-5