二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了,定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重 积分的概念,在此我们不作详述,请大家参考有关书籍 二重积分的定义 设z=f(xy)为有界闭区域(o)上的有界函数: (1)把区域(G任意划分成n个子域(△a)k=12,3,n),其面积记作△ak(k=12,3…n); (2)在每一个子域(△0)上任取一点(5,m),作乘积f(9,m)△a f(k,7k)Δ (3把所有这些乘积相加即作出和数k- (4)记子域的最大直径d如果不论子域怎样划分以及(5k,n)怎样选取,上述和数当n→+且 d→0时的极限存在那末称此极限为函数f(xy)在区域(o)上的二重积分记作!口) a (,m 其中x与y称为积分变量,函数f(xy)称为被积函数,f(xy)do称为被积表达式o)称为积分区域 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义我们并没有f(xy0的限容易看出当f(xy≥0时,二重积分() 在几何上就是以z=(xy)为曲顶,以()为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积 上述就是二重积分的几何意义 如果被积函数f(xy)在积分区域(o)上连续,那末二重积分(,p)d 必定存在。 二重积分的性质 (1)被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去 4(x,da=A∫f(xy)da (2)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和 j[i(x,y)±f2(x,y)1=∫1(x,da』f2(x,yda (o (3)如果把积分区域(G)分成两个子域(G1)与(02),即(G)=(G1)+(2),那末 (4)如果在(G)上有f(xy)g(xy),那末 ‖f(x,y)da‖g(x,y) (5)设f(xy)在闭域(o)上连续,则在(o)上至少存在一点(n),使 ∫f(x,pda=∫(5,m (o) 其中σ是区域(o)的面积二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重 积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设 z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成 n 个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点 ，作乘积 ； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径 d.如果不论子域怎样划分以及 怎样选取,上述和数当 n→＋∞且 d→0 时的极限存在,那末称此极限为函数 f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即： = 其中 x 与 y 称为积分变量，函数 f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ 称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有 f(x,y)≥0 的限.容易看出,当 f(x,y)≥0 时,二重积分 在几何上就是以 z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于 z 轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数 f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分 必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有 f(x,y)≤g(x,y ),那末: ≤ (5).设 f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η ),使 其中 σ 是区域(σ)的面积