同样的广义坐标:Q=q但广义动量不同: Apa+y哈密顿量也不同: H=∑pn-L H=∑P9-4 >IAp.+ L ZH Q→Q(PQ) 当然,各自都有正则方程成立。O 【例2】【例3】【例4】中的结论也可利用相应变换的显式直接检验 既然H=H(Pq,1)视作2s+1个独立变量p2,qn,t的函数,我们还可以考虑更一般的 变换:“整体地”(不把广义坐标和广义动量分割开来)把一组正则变量Pa,q变换为另一组 新的变量P2,Q,这当然比起上面各例提到的变换要广泛得多,这样的变换能不能保持正 则方程的形式不变呢?回答是可能的,但又必须有一定的条件加以限制,这样的变换就是我 们在下面要引入的正则变换。 2.正则变换的定义 从一组正则变量到另一组正则变量的非异变换,叫正则变换 即:如果通过一组正则变量(P2q)到另一组新变量(P2Q)的变换: jB=P(n…P,q,) (1) Q=Q2(p…p2,q1…q2)a=12… 满足2(P…P.g ≠0,把正则方程 aH H a(P1…P,q…q,) qa paa=1,2…s仍然变 换为正刚方程a2“.a=12,那么这种变换()叫做正刚变换 这一组新变量(P2Q)也是一组正则变量 说明:(1)2个变量{P2,qn}成为正则变量,就要求用它们来描述的力学体系的动力学方 程为正则方程,其中的哈密顿函数为 H=H(n…P24…q,1)=∑2-1(99)P小:新的2个变量{P2Q}也3 同样的广义坐标： Q q   = 但广义动量不同： 1 , L L f f L p P p q q q q Q                = = = + = +      哈密顿量也不同： ( ) ( ) , , 1 , , , q q p q t Q Q P Q t H p q L f df f H P Q L p q L H q dt t              →  →   = −             = − = + − − = −                  当然，各自都有正则方程成立。 , H H Q P P Q         = = −   【例 2】【例 3】【例 4】中的结论也可利用相应变换的显式直接检验。 既然 H H p q t = ( , , ) 视作 2 1 s + 个独立变量 p q t , ,   的函数，我们还可以考虑更一般的 变换：“整体地”（不把广义坐标和广义动量分割开来）把一组正则变量 p q,   变换为另一组 新的变量 P Q,  ，这当然比起上面各例提到的变换要广泛得多，这样的变换能不能保持正 则方程的形式不变呢？回答是可能的，但又必须有一定的条件加以限制，这样的变换就是我 们在下面要引入的正则变换。 2．正则变换的定义 从一组正则变量到另一组正则变量的非异变换，叫正则变换。 即：如果通过一组正则变量 ( p q   , ) 到另一组新变量 (P Q  , ) 的变换： ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , , 1,2 s s s s P P p p q q t Q Q p p q q t s       =   = =  （1） 满足 ( ) ( ) 1 1 1 1 , 0 , s s s s P P Q Q p p q q    ，把正则方程 1,2 H H q p s p q        = = − =   仍然变 换为正则方程 * * 1,2 H H Q P s P Q        = = − =   ，那么这种变换（1）就叫做正则变换。 这一组新变量 (P Q  , ) 也是一组正则变量。 说明：(1) 2s 个变量 p q   ,  成为正则变量，就要求用它们来描述的力学体系的动力学方 程为正则方程，其中的哈密顿函数为： ( ) ( ) 1 1 ( , , ) 1 , , , , s H H p p q q t p q L q q t s s q q p q t      = = = = −  ；新的 2s 个变量 P Q   ,  也