切n>N2,成立 h-a< H+ 取N=maxN1,N2},则当n>N时,成立 mn(x-EH+)(x+E)H+s)<xyn<max(x-h-E)(x+E)h-s)}, 于是 im(x y,)z min (x-s(H+8), (x+E)(H +8) lim(x, y, )<max(x-s(h-s),(x+8)(h-s) 由E的任意性,即得到 y lim(x, y)<xh= lim x, lim y 月→ 由于 )≥lim·lim(xnyn) lim yu (nyn) slim. lim(nyn) n-o xn 又得到 n(xnyn)≤ lim x,. lim y lim(xn lim y 将此两式与前面两式结合,即得到 lim(x y)=lim x,. lim y lim(x, y,=lim x, lim y一切 n > N2 ，成立 h − ε < y < H + ε n 。 取 N = max{N1, N2 }，则当 n >N 时，成立 min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) < xn yn < max{(x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε )}， 于是 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ min{ } (x − ε )(H + ε ),(x + ε )(H + ε ) ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ max{ } (x − ε )(h − ε ),(x + ε )(h − ε ) ， 由ε 的任意性，即得到 n→∞ lim ( x ) n n y ≥ xH = lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y ≤ xh →∞ = n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 由于 n→∞ lim n y ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ →∞ ( ) 1 lim n n n n x y x ≥ lim n→∞ ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， = →∞ n n lim y n→∞ lim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅( ) 1 n n n x y x →∞ ≤ n lim ⋅ n x 1 n→∞ lim ( ) n n x y ， 又得到 n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≤ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y ， n→∞ lim ( x ) n n y →∞ ≥ n lim ⋅ n x n→∞ lim n y 。 将此两式与前面两式结合，即得到 n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y n→∞ lim ( xn yn )=lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 6