E=-北，E,=-地 (4) ax ay 其中E,E,分别是电场强度E在x和y方向上的分量，x(x,y)为平面静电场的电函数. 设解析函数f(z)=u(x,y）+im(x,y)为该平面静电场的复势，u(x,y)和v(x,y)分别为电场线函数和 势函数，根据复变函数导数的定义、柯西一黎曼条件6习及式(4)有 8器+密器+密=-6此 =-i(E-E,)=-iE(z) (5) 即 0 r<To f(2)=-iE(a)= 入 12m802 r>To 则当r<r。时对应的复势为 f(2)=c+icz (6) 其中c1℃2为复常数，由于该范围内电场强度为零，而电场线的疏密程度反应了电场强度的大小，因而 必有c1=0,c2其大小与电势零点的选择有关 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u(r,)=0,v(r,0)=c2=常数 (7) 则当r>。时，该静电场的复势为 阳=-地-z+6+=+6+ia 入0 入lnr) (8) 2TTSo 其中c3,c4为实常数 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u(x,)=Ref()=26+c3=常数 (9) 入lnr=常数 u(x,y）=0-2m8 (10) 由式(7)可知r<r。时，电场线族为u(r,)=0,电势线函数族v(r,0)=常数，即带电体内无电场线，且是 一个等势体；T>时，由式(9)可知电场线函数族为0=常数，即电场线是通过原点的射线，而由式(10) 可知等势线函数族为r=常数，即等势线为一系列的同心圆.这就得无限长均匀带电圆柱面所产生的电场 线族方程、等势线族方程，该结论与文献5]一致. 2利用解析函数的性质计算平面静电场的等势线族方程 例题己知一平面静电场的电场线族是与虚轴相切于原点的圆族，试求等势线族，并求此电场的复 势 分析欲求等势线族和复势，需要先计算电场线函数，电场线族的方程为 (x-c)2+y2=c2(c为不为零的常数) (11) 容易认为电场线函数u(x,）=(:-c)2+y,但4u=产+=2，即这样的ux,y)不是调和函数.由 Γaxay 11)）可得：+y=2元，故为使4“=0，令 u(x,）=F(0),t=2+7 (12) 适当选择F(t),使△u=0,为此需要求u的二阶偏导数 ay-afat=F(d）= y2-x2 dx at dx (x2+y2)7 杂=+pr0-62 (13) (x2+y2)4 85· ?1994-2015 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.netEx = － v x ，Ey = － v y ( 4) 其中 Ex，Ey 分别是电场强度 E 在 x 和 y 方向上的分量，v( x，y) 为平面静电场的电函数． 设解析函数 f( z) = u( x，y) + iv( x，y) 为该平面静电场的复势，u( x，y) 和 v( x，y) 分别为电场线函数和 势函数，根据复变函数导数的定义、柯西—黎曼条件［6-7］及式( 4) 有 f'( z) = u x + i v x = v y + i v x = － Ey － iEx = － i( Ex － iEy ) = － i E( z) ( 5) 即 f'( z) = － i E( z) = 0 r ＜ r0 － i λ 2πε0 z { r ＞ r0 则当 r ＜ r0 时对应的复势为 f( z) = c1 + ic2 ( 6) 其中 c1、c2 为复常数，由于该范围内电场强度为零，而电场线的疏密程度反应了电场强度的大小，因而 必有 c1 = 0，c2 其大小与电势零点的选择有关． 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u( r，θ) = 0，v( r，θ) = c2 = 常数 ( 7) 则当 r ＞ r0 时，该静电场的复势为 f( z) = ∫ － i λ 2πε0 z dz = － i λ 2πε0 lnz + c3 + ic4 = λθ 2πε0 + c3 + i( c4 － λ 2πε0 lnr) ( 8) 其中 c3，c4 为实常数． 该电场的电场线函数族和等势函数族分别为 u( x，y) = Ref( z) = λθ 2πε0 + c3 = 常数 ( 9) v( x，y) = c4 － λ 2πε0 lnr = 常数 ( 10) 由式( 7) 可知 r ＜ r0 时，电场线族为 u( r，θ) = 0，电势线函数族 v( r，θ) = 常数，即带电体内无电场线，且是 一个等势体; r ＞ r0 时，由式( 9) 可知电场线函数族为 θ = 常数，即电场线是通过原点的射线，而由式( 10) 可知等势线函数族为 r = 常数，即等势线为一系列的同心圆． 这就得无限长均匀带电圆柱面所产生的电场 线族方程、等势线族方程，该结论与文献［5］一致． 2 利用解析函数的性质计算平面静电场的等势线族方程 例题 已知一平面静电场的电场线族是与虚轴相切于原点的圆族，试求等势线族，并求此电场的复 势． 分析 欲求等势线族和复势，需要先计算电场线函数，电场线族的方程为 ( x － c) 2 + y 2 = c 2 ( c 为不为零的常数) ( 11) 容易认为电场线函数 u( x，y) = ( x － c) 2 + y 2 ，但 Δu =  2 u  2 x +  2 u  2 y = 2，即这样的 u( x，y) 不是调和函数． 由 ( 11) 可得 x x 2 + y 2 = 1 2c ，故为使 Δu = 0，令 u( x，y) = F( t) ，t = x x 2 + y 2 ( 12) 适当选择 F( t) ，使 Δu = 0，为此需要求 u 的二阶偏导数 u x = F t t x = F'( t) = y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) 2  2 u x 2 = = F″( t) y 2 － x 2 ( x 2 + y 2 ) [ ] 2 2 + F'( t) － 6xy 4 － 4x 3 y 2 + 2x 5 ( x 2 + y 2 ) 4 ( 13) ·85·