第十三讲数学物理方程:数学建模 第3页 这样,就有 (T)x+dr-(T)2=0 p(T)x+dz=(T) 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 02n02u 其中P是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 =0 0x2 a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds-dx= vdu+dz2-dx l dr=( 所以,在准确到ωu/r的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变化 因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用,设单位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 dr fda. 因此 a2u 282u 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力Wu Chong-shi ￾✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 3 ✍ ✲✳✧✴✍ (T )x+dx − (T )x = 0 ✵ (T )x+dx = (T )x, ✶ ✷ T ✸✹ x ✺✻✧➑✼✽✾➎✿❀❁❂ ❉à❒ ✧ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T " ∂u ∂x x+dx −  ∂u ∂x x # = T ∂ 2u ∂x2 dx, ✵ ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ ρ ❒ ➻➼❅❆❇ (❈ ➚Ø❇➼ æ❉) ❉❊❋ a = s T ρ , ●❍■áÞ❏å ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a ✴ ❒ ➻➼✦✧❑▲▼❇❉ ◆❖ ✈P ◗ë❘✣❙❘❚❯❱✧ ✿❀ T ❲ t ❳❨ ❉♦r ú ❢û❩ ✻❬❭ ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx =   s 1 +  ∂u ∂x2 − 1  dx = O  ∂u ∂x2  , ✸ ✈✧❘❪❫ÿ ∂u/∂x ✻⑩❴❵ (✥✣❙❘❚❯) ✻❛❜❱ ✧ û❩ ✻❭❝❞❡❀ ✓❝❞❉ ú❅✧❢❣ Hooke ❤❦ ✧ T ❁❞❡❀ ✓❝❞❉ ✐ ❥❦ ❧♠P ◗♥✧ T ❁❞❡ x ❝❞✧✸ ✈ T ♦ ➈➉♣q❉ rs➻Ï Ò Ó (✵ ➚Ô u ➼t Ó) ❮✉éð✈ê➼òó✧❐ ❈ ➚Ø❇✇é➼✈ê➶ f ✧●①② ③④➼⑤⑥✧✍ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. ☞✌✧ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , ❃ ❄➼⑦⑧⑨✰ f /ρ ❒❈ ➚ æ❉ ✇é➼✈ê❉