§2.基本定理 著摄将介绍常微分方程解的些基著定理，原的存在唯性定理，解的延拓 定理，解对初值的连续性定理，以及解对参数的连续性定理.它们是著课程所涉及 内容的理论基础。 我们考虑如下一般形式的n维常微分方程组 告=化 (2.1) 其中x=(c1,x2,.,xn)∈，t∈R,ft,x)是定义于区域0C+1上的n维向 系函数及，到=，.h,.,)∈m 定义2.1(1)称f(t,x)在2上关于x满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0 使得对任意的（化，1），（化，x2)∈2都有 If(t,x1)-f(t,22)<Llz-z2l. (2)称f(t,x)在2上关于x满足局部的Lipschitz条件，如果对任意的(to,xo)∈ 2,存在(to,xo)的一个邻城U=U(to,o)C2和一个常数L=L(to,xo)>0,使得 对任意的（化，1），(6，x2)∈U都有 lf(t,x)-f(t,2l≤-x2 这里，常数L通常称为Lipschitz常数 在著聂中我们始终假设方程组(2.1)的右端函数f(t,x)在Ω上连续，并且关于 x满足局部的Lipschitz条件. 首先我们研究方程组(2.1)的初值问题的解的存在唯一性问题，我们有下面的结 果 解的存在唯-性定理用任有动∈B.打值问夏 亚=f化，以，xo)=0 (2.2) 11 §2. ^z1 "C9G Ir,$QEyR$" EyfuR3 EyFj EX)y93 YE>=y93 R-'"lQP A}y![ -e~R0!y n xIr,$QQ dx dt = f(t, x), (2.1) T4 x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn , t ∈ R, f(t, x) ' `rix Ω ⊂ Rn+1 y n x f= f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)) ∈ Rn . { 2.1 (1) = f(t, x) ! Ω Ol x 0: Lipschitz iLoH!;a L > 0 WO[KP (t, x1), (t, x2) ∈ Ω X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. (2) = f(t, x) ! Ω Ol x 0:9P Lipschitz iLo[KP (t0, x0) ∈ Ω, H! (t0, x0) PÆf+ U = U(t0, x0) ⊂ Ω uÆf;a L = L(t0, x0) > 0, WO [KP (t, x1), (t, x2) ∈ U X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. &#;a L j;=s Lipschitz ;a "C4- 5* $QQ (2.1) ypf= f(t, x)  Ω 92aYr x &OW:y Lipschitz \4 1-ET$QQ (2.1) yX)
XyEyfuR3
X-o0yD ` #ure~{2 [Kv (t0, x0) ∈ Ω, A,wh dx dt = f(t, x), x(t0) = x0 (2.2) 11