第11期 邵彭真等：轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 ·1349· a4gxu。+ugm(e）+ua],(24）) J1J2和Ja使2：满足正定条件的同时，调节Q:的 u:=- 特征值，使不同子系统具有最佳动态性能，以此来改 ua=e3-t3别+ ∑a (25) 善整个系统工作时的跟踪效果，降低共同Lyapunov 函数方法设计的保守性. uap=91+92‖x‖， (26) 由以上证明可知，各未知参数的自适应误差最 ua Jae J2e2 Jae3. (27) 终将趋向于零，系统的最终状态能够完全跟踪系统 设计的参数自适应律为： 的设定值 会 (28) 3仿真研究及结果 综上所述，通过上述对系统(7)控制器的设计 步骤，可以归纳得到如下结论 为验证方法的有效性，对轧机液压伺服单侧缸 定理1针对系统(7)，对各个子系统取相同的 位置系统采用两个子系统模型进行切换控制仿真， 子系统模型1代表轧辊未接触钢带时的空载状态， 期望轨迹x:和设计参数k,和k2,那么整个切换系 统将具有共同的Lyapunov函数，即为式(23)，设计 子系统模型2代表轧辊接触钢带后带有弹性负载时 控制器(24)~(27)和自适应律(28)，同时选取J1、 的状态. J2和Ja保证矩阵Q:正定即可保证系统闭环渐近 由于系统是在任意切换下稳定的，子系统切换 稳定 律可以任意给定，结合轧机液压系统实际工作情况 证明：将式(25)和(26)代入式(23)中，得到 设计切换律如下： (1)在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 73=-k1e-k2e+e3(f-(q1+ 之前，负载压力P较小，此时选择控制器山1： izllxll)sgn (e;))-esua-B (2)在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 B2g2 925-kiei -kzez lesl lf:l-les I (gi 时，负载压力P,也会发生数量级的跳变，此时切换 到控制器2 42‖xI）-e3uh-B91-B2242.(29) 由f1≤9：+92‖x‖，将式(27)和(28)代入上式 因此可以将P作为切换依据.轧机开始工作 后，当P较小时使用控制器山1；当检测到P,有大 可得 变化率时，切换到控制器2· 73≤-ke-k2e+le3l(q1+q2‖x‖- 仿真所用液压伺服单侧缸位置系统标称参数如 1-42|xI）-e3u-B91-B2242= 表1所示. -k,e-k2e+le31(1+2‖xI）-e3ub- 子系统1工作时，对应于空载状态，此时弹性负 载系数k和外负载力F均为零；子系统2工作时， Big q1 -B2q2 92 =-kiei-kze:-esua =-e"Q:e. 对应于带弹性负载时的状态，此时弹性负载系数k (30) 和外负载力F对应于上表中的标称值k。和F:·将 式中， 表1所示参数代入各子系统参数表达式中得到： e=[e1,e2,e3]T, a1=0,a12=-7.8151×10,a13=-1.5×103, k10 a14=4.0683,d1=0:a21=-3.0962×102, a22=-8.6484×10,a23=-1.5×103, Q=0k2 (31) a24=4.0683,d2=-0.2477. J 1 系统的期望输出为xa,元，x4]T=[0.001,0, 22 Ja 0]T,初始状态为1ox0x0]T-[0,0,0]T.系统不 如果设计参数J1J2和J:保证矩阵2：正定，则 确定性参数取为△a,=a×0.05sin(2πt).根据 3≤0，当且仅当即Ie‖=0，V3=0,由共同 式(31)，要保证Q的正定性，k,和k2均应为正数， Lyapunov:理论可知，对于任何激活的子系统当 同时Q,决定了Lyapunov函数V,的衰减速率，Q:的 川e‖≠0时V,都是衰减的，所以闭环系统在平衡点 特征值越大，则eQ:e越大，V3衰减越快.因此在保 (e1,e2e）=(0,0,0)是渐近稳定的.证毕. 证Q:正定的前提下，为获得较好的系统性能，选取 对于Q的设计，针对不同子系统，可以选择 k,=100和k2=80,且分别为子系统1和子系统2第 11 期 邵彭真等: 轧机液压伺服系统多模型切换自适应反步控制 ui = － 1 ai4 g( xv ) ［uia + uadp sgn( e3 ) + uib］，( 24) uia = e2 － x · 3d + ∑ 3 j = 1 aij xj ， ( 25) uadp = q^ 1 + q^ 2‖x‖， ( 26) uib = Ji1 e1 + Ji2 e2 + Ji3 e3 ． ( 27) 设计的参数自适应律为: q^ · 1 = |e3 | β1 ，q^ · 2 = |e3 |‖x‖ β2 ． ( 28) 综上所述，通过上述对系统( 7) 控制器的设计 步骤，可以归纳得到如下结论． 定理 1 针对系统( 7) ，对各个子系统取相同的 期望轨迹 xd 和设计参数 k1 和 k2，那么整个切换系 统将具有共同的 Lyapunov 函数，即为式( 23) ，设计 控制器( 24) ～ ( 27) 和自适应律( 28) ，同时选取 Ji1、 Ji2和 Ji3 保证矩阵 Qi 正定即可保证系统闭环渐近 稳定． 证明: 将式( 25) 和( 26) 代入式( 23) 中，得到 V · 3 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + e3 ( fi － ( q^ 1 + q^ 2‖x‖) sgn( e3 ) ) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2≤ － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | | fi | － |e3 | ( q^ 1 + q^ 2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 ． ( 29) 由| fi | ≤q1 + q2 ‖x‖，将式( 27) 和( 28) 代入上式 可得 V · 3≤ － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | ( q1 + q2‖x‖ － q^ 1 － q^ 2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 = "k1 e 2 1 － k2 e 2 2 + |e3 | ( q槇1 + q槇2‖x‖) － e3 uib － β1 q槇1 q^ · 1 － β2 q槇2 q^ · 2 = － k1 e 2 1 － k2 e 2 2 － e3 uib = － eT Qie． ( 30) 式中， e =［e1，e2，e3］T ， Qi = k1 0 Ji1 2 0 k2 Ji2 2 Ji1 2 Ji2 2 Ji                 3 ． ( 31) 如果设计参数 Ji1、Ji2和 Ji3保证矩阵 Qi 正定，则 V · 3≤ 0，当 且 仅 当 即 ‖ e ‖ = 0，V · 3 = 0，由 共 同 Lyapunov理 论 可 知，对于任何激活的子系统当 ‖e‖≠0时 V · 3 都是衰减的，所以闭环系统在平衡点 ( e1，e2，e3 ) = ( 0，0，0) 是渐近稳定的． 证毕． 对于 Qi 的设计，针对不同子系统 i，可以选择 Ji1、Ji2和 Ji3使 Qi 满足正定条件的同时，调节 Qi 的 特征值，使不同子系统具有最佳动态性能，以此来改 善整个系统工作时的跟踪效果，降低共同 Lyapunov 函数方法设计的保守性． 由以上证明可知，各未知参数的自适应误差最 终将趋向于零，系统的最终状态能够完全跟踪系统 的设定值． 3 仿真研究及结果 为验证方法的有效性，对轧机液压伺服单侧缸 位置系统采用两个子系统模型进行切换控制仿真， 子系统模型 1 代表轧辊未接触钢带时的空载状态， 子系统模型 2 代表轧辊接触钢带后带有弹性负载时 的状态． 由于系统是在任意切换下稳定的，子系统切换 律可以任意给定，结合轧机液压系统实际工作情况 设计切换律如下: ( 1) 在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 之前，负载压力 PL 较小，此时选择控制器 u1 ; ( 2) 在弹性负载刚度系数和外负载力发生跳变 时，负载压力 PL 也会发生数量级的跳变，此时切换 到控制器 u2 ． 因此可以将 PL 作为切换依据． 轧机开始工作 后，当 PL 较小时使用控制器 u1 ; 当检测到 PL 有大 变化率时，切换到控制器 u2 ． 仿真所用液压伺服单侧缸位置系统标称参数如 表 1 所示． 子系统 1 工作时，对应于空载状态，此时弹性负 载系数 k 和外负载力 FL 均为零; 子系统 2 工作时， 对应于带弹性负载时的状态，此时弹性负载系数 k 和外负载力 FL 对应于上表中的标称值 k0 和 FL ． 将 表 1 所示参数代入各子系统参数表达式中得到: a11 = 0，a12 = － 7. 815 1 × 106 ，a13 = － 1. 5 × 103 ， a14 = 4. 068 3，d1 = 0; a21 = － 3. 096 2 × 102 ， a22 = － 8. 648 4 × 106 ，a23 = － 1. 5 × 103 ， a24 = 4. 068 3，d2 = － 0. 247 7． 系统的期望输出为［xd，x · d，x ·· d］T = ［0. 001，0， 0］T ，初始状态为［x10，x20，x30］T =［0，0，0］T ． 系统不 确定性参数取为 Δaij = aij × 0. 05sin ( 2πt) ． 根 据 式( 31) ，要保证 Qi 的正定性，k1 和 k2 均应为正数， 同时 Qi 决定了 Lyapunov 函数 V3 的衰减速率，Qi 的 特征值越大，则 eT Qie 越大，V3 衰减越快． 因此在保 证 Qi 正定的前提下，为获得较好的系统性能，选取 k1 = 100 和 k2 = 80，且分别为子系统 1 和子系统 2 ·1349·