数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为P/q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如，巨，6，⑧，2，…等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：数学史上的三次危机 第一次数学危机 在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深 入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与 任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个 发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前 5 世纪或 6 世纪的 某一时期又毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个 里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即 对角线的长不能表为 p / q的形式，也就是说不存在作为公共量度单位 的线断。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。 因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能 是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， 2, 6, 8, 22,等都是无理数。无理数的发现推翻了早期 希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段， 也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现 代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。 第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶 段：