习题4.2导数的意义和性质 1.设f(x)存在,求下列各式的值: (1)lim f(xo-Ax)-f(xo) △x 2)lim f(x)-fc f(x0+h)-f(x0-h) h N(1)lim /(xo-Ax)-f(x2-lim /(xo+(Ax)-f(o)=-/(xo) (2)lim f(x)-f(o= lim f(xo+(x-xo)-f(xo=/'(o) (3)lim(o+h-f(xo-h) =lim f(x+h)-/(x)-1im/(x-h)-/(x) 2f(x0)。 h 2.(1)用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数; (2)求该抛物线上过点(-1,-2)处的切线方程 (3)求该抛物线上过点(-2,1)处的法线方程; (4)问该抛物线上是否有(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦 点的连线平行? 解(1)因为=2(x+4D)+x+A0)-1-(2x+3x=1=4x+3+2Ax,所以 f(r)=Iin 4r =4x+3。 Ar→0△x (2)由于∫(-1)=-1,切线方程为y=-1[x-(-1)+(-2)=-x-3。 (3)由于f(-2)=-5,法线方程为y=-[x-(2)+1=+。 5 (4)抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴,即斜率为无穷大,由(1)可习 题 4.2 导数的意义和性质 1． 设 f x ′( 0 )存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 解 (1) '( ) ( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x f x x f x x x = − −∆ + −∆ − = − ∆ − ∆ − ∆ → ∆ → 。 ⑵ '( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x x x f x x x f x f x x x x x = − + − − = − − → − → 。 ⑶ h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − − → 2 '( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x h f x h f x h f x h f x h h = − − − + − = → → 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = 2 3 + x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , −1 −2)处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, )处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有( , ，过该点的切线与抛物线顶点与焦 点的连线平行？ a b) 解 (1)因为 x x x x x x x x x x y = + + ∆ ∆ + ∆ + + ∆ − − + − = ∆ ∆ 4 3 2 2( ) 3( ) 1 (2 3 1) 2 2 ，所以 '( ) lim 4 3 0 = + ∆ ∆ = ∆ → x x y f x x 。 (2)由于 f '(−1) = −1，切线方程为 y x = − ⋅ 1 [ − (−1)]+ −( 2) = −x − 3。 (3)由于 f '(−2) = −5，法线方程为 1 7 [ ( 2)] 1 5 5 x y x + = − − − + = − 。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可 58