Methods of Mathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions LMal@a Phys. FDU 绝对收敛:如果∑收敛,则称∑二绝对收敛。 绝对收敛的性质: ◆绝对收敛的级数一定收敛(因为 <E),反之不定。 k=n+1 ◆绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是,可 以把一个收敛级数拆成几个子级数,每个子级数 仍绝对收敛。 do bo a, b, a, b2 ◆两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 a1a,bo a,b, a,b2 2b。l2b;a2b2 例如,S1= ,S,=>b是绝对收敛的,则 [注意最后一步的l=k-n及n的取值范围 SS2=∑ah=∑∑a=∑∑abn(b=0)因为|an和|b =0l=0 构成的实数级数收敛,所以|abn|构成的实数级数也收敛 由于∑k是一个实数级数,而且是一个正项级数,因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法(自证或者查资料证明之) 比较判别法:若l≤v,而∑v收敛,则∑收敛 若x|2V,而∑v发散,则∑发散 比值判别法( D'Alembert*别法)若m=1<1,则∑收敛: =131,则,发散 若m=1=1,∑叫可能收敛,也可能发散Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 绝对收敛：如果   k1 k z 收敛，则称   k1 k z 绝对收敛。 绝对收敛的性质：  绝对收敛的级数一定收敛（因为：            n p k n k n p k n k z z 1 1 ），反之不定。  绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可 以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数 仍绝对收敛。  两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 例如，     0 1 n S an ，     0 2 l S bl 是绝对收敛的，则 [注意最后一步的 l k n   及 n 的取值范围] 1 2 0 0 0 0 0 0 . k n l n l n k n n l n l k n S S a b a b a b                     | | ( 0) l b  因为 | | n a 和 | | l b 构成的实数级数收敛，所以 | | n k n a b  构成的实数级数也收敛。 由于   k1 k z 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若 k k u  v ，而   k1 k v 收敛，则   k1 uk 收敛； 若 k k u  v ，而   k1 k v 发散，则   k1 uk 发散； 比值判别法（D’Alembert 判别法）：若 lim 1 1     l u u k k k ，则   k1 uk 收敛； 若 lim 1 1     l u u k k k ，则   k1 uk 发散； 若 lim 1 1     l u u k k k ，   k1 uk 可能收敛，也可能发散；