同时有 -h）=A+Um。 A U1 ）广-(4tmg）】 -1 -(A+U"-1U 01 于是(A+UV)-1=A-1-A-1U(Lm+VA-1-1v'A-1 例2.3.3设a=(a1,a2,…,an),8=(d,b2,·,bn)为n维实向量，求矩阵A=1-ag的行列式 () En0 En-aT8 aT -81 = 0 1/ -31/3 0 1-BaT 于是Ea-E-a8arar g1- 0 101-a 即l4=lEn-aal=1-Bar1=1-(ab1+…+anbn) a11+xa12+x·a1n+xa11a12… a21+xa2+x.ay知+x 例2.3.4证明 a21 022.. +∑，∑=A an1+xan2+x…ann+xan1an2…ann+x 其中A是a,的代数余子式. a11+xa12+xa1m+x a11a12 证明令D a21+x … 1= 1 则D=A+a3H.由定理1，D1=A+a31-4+BHA'a=4+x∑1∑=1A: aa1a2-1…a1am-1 例23.5计算行列式 a2a1-1a吃 的值，其中a,为实数，1<i≤n ana1-1 dnd2-1. a7a102-1·a10-1 22a1-1 a2a-1 解令D 9- a21 ana-1 ana2-1... an 1 则D=1n+VH.由定理2,1Dl=lnl2+VU川=(1-n(a+…+a品+1)+(a1+…+an2 练习计算下列n(n≥2)阶行列式： T-aa a a r-a a y+1 1) x-a 2) a 5 ”ûk A U −V 0 Im !−1 = P5 A + UV 0 U 0 Im !−1 = (A + UV 0 ) −1 −(A + UV 0 ) −1U V H(A + UV 0 ) −1 Im − V 0 (A + UV 0 ) −1U ! . u¥(A + UV 0 ) −1 = A−1 − A−1U(Im + V 0A−1U) −1V 0A−1 . ~2.3.3 α = (a1, a2, · · · , an), β = (b1, b2, · · · , bn)ènë¢ï˛, ¶› A = I − α T β1™. ) En α T β 1 ! En 0 −β 1 ! = En − α T β αT 0 1 ! , En 0 −β 1 ! En α T β 1 ! = En − α T β αT 0 1 − βαT ! , u¥      En α T β 1      =      En − α T β αT 0 1      =      En α T 0 1 − βαT      , =|A| = |En − α T β| = |1 − βαT | = 1 − (a1b1 + · · · + anbn). ~2.3.4 y²:            a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x            =            a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann + x            + Pn i=1 Pn j=1 Aij , Ÿ•Aij¥aijìÍ{f™. y² -D =   a11 + x a12 + x · · · a1n + x a21 + x a22 + x · · · a2n + x . . . . . . . . . an1 + x an2 + x · · · ann + x   , A =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann   , α =   x x . . . x   , β =   1 1 . . . 1   . KD = A + αβH. d½n1, |D| = |A + αβH| = |A| + β HA∗α = |A| + x Pn i=1 Pn j=1 Aij . ~2.3.5 Oé1™            a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n            ä, Ÿ•aiè¢Í, 1 ≤ i ≤ n. ) -D =   a 2 1 a1a2 − 1 · · · a1an − 1 a2a1 − 1 a 2 2 · · · a2an − 1 . . . . . . . . . ana1 − 1 ana2 − 1 · · · a 2 n   , U =   a1 1 a2 1 . . . . . . an 1   , V =   a1 −1 a2 −1 . . . . . . an −1   . KD = In + UV H. d½n2, |D| = |In||I2 + V HU| = (1 − n)(a 2 1 + · · · + a 2 n + 1) + (a1 + · · · + an) 2 . ˆS Oéen(n ≥ 2)1™: (1)              x − a a a · · · a a x − a a · · · a a a x − a · · · a . . . . . . . . . . . . a a a · · · x − a              ; (2)            y + 1 y · · · y y y + b · · · y . . . . . . . . . y y · · · y + b n            ; 5