e书联盟电子书下载www.book1H8.Com 第二章非线性方程求解 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 f(x)=0 (2-1) 方程(21)的解x称为方程的根或函数f八x)的零点。若f(x)可表为 f(x)=(x-x*)”g(x） 其中m为大于1的整数，且g(x)≠0，称x·为方程(21)的m重根，或函数∫(x)的m重 点。若fx)为n次多项式，则称f八x)-0为次代数方程；若fx)为超越函数，则称f(x 一0为超鹅方程，从理论上可以证明，5次以上代数方程没有一般的公式解法，3次，4次代数 方程虽然有解的公式，但应用起来十分繁琐。对于一般的超越方程，更无求根公式。因此，研 究非线性方程的数值解法是很必要的，本章主要介绍几种求近似根的常用方法。 第一节根的隔离与二分法 方程求根同题一般分两步进行。第一步根的隔离：确定根所在的区间[a,b],使在[a,b] 内只有方程的一个根，这个步骤叫根的隔离，这样的区间叫根区间。第二步近似根的精确 化：已知根的一个近似值后，用某种方法对其进行加工，使之满足给定的精度要求。 一、求隔根区间的一般方法 由高等数学可知，若f(x)在[a,b]内连续，且fa)·fb)<0,则f(x)=0在[a,b]内必 有根；若f(x)在[a,b]内还严格单调，则f(x)=0在[4，b]内只有一个根.据此可得求隔根区 间的两种方法。 1.作法 画出y=f(x)的草图，由f(x)与横轴交点的大概位置来确 定隔根区间，如图2-1所示，或者利用导函数∫(x)的正、负与 y 函数f(x)的单调性的关系确定根的大摄位爱。若∫(x)比较复 杂，还可将方程(2-1)化为一个等价方程(x)=(x),则曲线y =x)与y=(x)之交点A(x,y)的横坐标x'即为原方程之 根，据此也可通过作图求得x~的隔根区间。 例1判别下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。 ①f(x)=x2-x-1=0 ②fx)=x-4x3+1=0 ①将方程变形为x=x十1，绘曲线y=x及y=x十1，由图22可知，方程只有一个实 根x∈(1,1.5)，所以(1,1.5)即为其隔根区间. ②对方程f(z)=x-4x3+1=0,令(x)=4x23-12x2-4x2(x-3)=0,可得驻点x1= 0,x=3.该二点将实轴分为三个区向：(-60,0)，(0,3)，(3，十∞)，f(x)在此三区间上的正 负号分别为“一”、“一”、“+”。由此可见，八x)在此三区间上的变化规律是“降”、“降”、“增”， ·14✉ e书联盟电子书下载www.book118.com