(4) Dirichlet,间问题解答的唯一性. 如果有两个解(pe°),v(pc适合于(10),则 也是调和函数,在圆周上这函数等于0,即u(c1°)=0.由(3) 可知在闭圆|x≤1上,w(pe)的最大值≤0,最小值≥0, 因而w≡0.因而解答是唯一的 (5)解答的存在性 考虑 Poisson积分 pc 1 P(p,8-rop(r)dr 13 这函数有以下的一些性质:首先由性质(ⅳv)可知认pe)在 圆内适合 Laplace方程,其次由“8函数”性质可以证明(10) 式.由性质(i) P(p,6-τ)q(θ)d 因为q(0)是连续函数,给了e,存在δ使θ一<δ时, τ) 把积分 P(p,6-r)(q()-g(0))d 分为两部分,由(14)可知 P(p,日-τ)(q()-q(6)d 2J{6-r< ≤ P(p,6-τ) 另一方面,当|0-叫≥8时,可以取P充分接近于1使 (p,6一τ)<ε/2M 这儿M是|q(x)的上界.于是