第四章导数的应用 各种不定式中,基本的是和,其它几种都可以经过变形转 化为一和一型不定式 洛比塔法则对于求各种不定式极限提供了一个非常简便有效的方 法。洛比塔法则是利用柯西中值定理证明的。 (2)0/0型的极限: 定理1:对于lm(x) 若 (1)在a某邻域中,f(x)与g(x)可导,g(x)≠0 (2)f(a)=g(a)=0 (3)Iim f(x) x→ag(x) 则mf(x)=mnf(x 证明()=(x)-/Q=(5),在x与5之间 显然,当x→>a时,有→a,从而有 f∫ =lim x→ag(x)xag(5) 定理2对于m<(x) (x (1)在(a,+∞)中,f(x)与g(x)可导,g'(x)≠0 (2)lim f(x)=lim g(x)=0 f(x)=A或 x→+g(x) 则im f(x) lim f(x) x→+g(x) 证明:可利用变换t=l/x,化成上一种情形 (2)∞/∞型的极限 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 各种不定式中, 基本的是 0 0 和   , 其它几种都可以经过变形转 化为 0 0 和   型不定式. 洛比塔法则对于求各种不定式极限提供了一个非常简便有效的方 法。洛比塔法则是利用柯西中值定理证明的。 (2) 0 0 型的极限： 定理 1: 对于 ( ) ( ) lim g x f x x→a , 若 (1) 在 a 某邻域中, f (x) 与 g(x) 可导, g (x)  0 ; (2) f (a) = g(a) = 0 ; (3) =    → A 或 g x f x x a ( ) ( ) lim . 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x a x a   = → → 证明: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f g x g a f x f a g x f x   = − − = ,  在 x 与  之间; 显然，当 x →a 时，有  → a , 从而有 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim   g f g x f x x a x a   = → → 定理 2 对于 ( ) ( ) lim g x f x x→+ , 若 (1) 在 (a, + ) 中, f (x) 与 g(x) 可导, g (x)  0 ; (2) lim ( ) = lim ( ) = 0 →+ →+ f x g x x x ; (3) =    →+ A 或 g x f x x ( ) ( ) lim . 则 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim g x f x g x f x x x   = →+ →+ . 证明：可利用变换 t =1 x , 化成上一种情形。 (2)   型的极限：