电流与速度相关,如平均速度与时间无关,这 意味着电流将永不衰减! 2、 Bloch电子的平均速度 无电阻机制1电导率无穷大!电子不但与电子 处在量子数灬态的电子的平均遠度为 问:自由电子模型? v()=vi(r)va(rkr ·如果没有其他碰撞机制,自由电子在外电场下 将被无限加遠,所以要引入其他的碰撞机制, 否则电流会无限大 将 Bloch波函敷代入,得 对晶体电子,电流无限大不会发生 因为周期性势场,速也是一个周期 ·对积分,从 Schroedinger方程 可以雹出隐含在E(k)里的周期性势场的影响 2+k)+(x()=E(() 物系车游光 湿学 物光 c体理学 这是u的方程H(x)=E2(知(x) 对波夫很小的变化,有 较前面平均速度,就有 i dE +k+派+F(x) 去能带标号 dE( ·用微扰论 E、+&)=E(k)+ 另一方面,作展开E(+l)=E,(),( 事 物学 道车光 体理学 3、准经典运动方程 为得到的随时间支化情况对4,m( 左乘<T ·看一维情况,外力F,则哈密顿H=H0-F H为无外场哈密顿,是平移算符,本征值c 两式相加,得 什么意义? ·T不含时间,由量子力学,其期待值随时间的 这是复平面内的圆的方程,它的实、虛部分别 变化由倒易关系的期待值給出 是平移算符本征值的实、虚部 2-:-) 如果是Bch波,那这个期待值为1K=产 即在外力F作用下,<T将在复平面内的单位 即平算符期待值的时变化隼为当。() 所以,平移算符期待值的时间变化率现为 你系率 体是学 率静 2-04-( F2 物理系车静光 固体物理学 7 • 电流与速度相关，如平均速度与时间无关，这 意味着电流将永不衰减！ * 无电阻机制！电导率无穷大！电子不但与电子没有 碰撞，与离子也没有碰撞——如果周期性势场成立 • 问：自由电子模型？ • 如果没有其他碰撞机制，自由电子在外电场下 将被无限加速，所以要引入其他的碰撞机制， 否则电流会无限大 • 对晶体电子，电流无限大不会发生 * 因为周期性势场，速度也是一个周期性函数，是一 个有界函数，后面会看到将引起是振荡，但速度也 不会衰减，理想导体 * 可以看出隐含在E(k)里的周期性势场的影响 物理系车静光 固体物理学 8 2、Bloch电子的平均速度 • 处在量子数nk态的电子的平均速度为 ( ) () () dx d v i v k x v x dx n nk nk = − = ∫ ˆ ˆ * ψ ψ • 将Bloch波函数代入，得 () () ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + k u x dx dx d v k u x i n nk nk * • 对积分，从Schroedinger方程 k V x u () () () x E k u x dx d i nk = n nk ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ( ) 2 物理系车静光 固体物理学 9 • 这是u的方程 ( ) ( ) () ( ) ˆ ˆ 2 ' ' k V x dx d H i H u x E k u x k k nk n nk ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + = • 对波矢很小的变化，有 ( ) ˆ 2 ' k k V x dx d H i k k ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +δ = − + +δ k k dx d k V x i dx d H i k δk ⎟δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + − + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + ( ) ˆ 2 ' • 用微扰论 ( ) () () ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + − + k u x dx k dx d E k k E k u x i n δ n nk nk δ * • 另一方面，作展开 ( ) () ( ) k dk dE k E k k E k k n n +δ = n + δ k k dx d H i k ⎟δ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − + ' ˆ 物理系车静光 固体物理学 10 • 就有 ( ) ( ) ( ) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + k u x dx dx d u x i dk dE k nk nk n * • 比较前面平均速度，就有 () () ( ) ( ) dk dE k k u x dx dx d v k u x i n n nk nk h * 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + ∫ • 略去能带标号 ( ) ( ) dk dE k v k h 1 = • 三维时 v( ) k = ∇kE( ) k h 1 物理系车静光 固体物理学 11 3、准经典运动方程 • 看一维情况，外力F，则哈密顿 H = H − Fx 0 ˆ ˆ • H0为无外场哈密顿，T是平移算符，本征值 [ ] 0 ˆ , ˆH0 T = [H Tˆ] FaTˆ , ˆ = ika e • T不含时间，由量子力学，其期待值随时间的 变化由倒易关系的期待值给出 [ ] ( ) Fa T i H T i dt d T ˆ ˆ , ˆ ˆ h h = = • 即平移算符期待值的时间变化率为 T iFa dt d T ˆ ˆ h = 物理系车静光 固体物理学 12 • 什么意义？ • 这是复平面内的圆的方程，它的实、虚部分别 是平移算符本征值的实、虚部 • 如果是Bloch波，那这个期待值为1 * 2 ˆ ˆ ˆ T iFa dt d T T h = 2 * ˆ ˆ ˆ T iFa dt d T T h = − • 为得到<T>的随时间变化情况，对 左乘<T> 0 ˆ 2 = dt d T • 两式相加，得 1 ˆ 2 = ⋅ = ika −ika T e e • 即在外力F作用下，<T>将在复平面内的单位 圆运动，因此， <T>可写为 ik ( )t a T = e ˆ • 所以，平移算符期待值的时间变化率现为 T iFa dt d T ˆ ˆ h = T iFa e dt dk ia dt d T ika ˆ ˆ h = = F dt dk h =