正交矩阵的性质: 性质1A为n阶正交矩阵←→A的列向量组是m维空间R的一个规范正交 基 预备知识向量的内积 方阵的特征值与特征向量 证令A=(a1,a2……,an) 对称矩阵的相似矩阵 二次型及其标准形 A为n阶正交矩阵← (a1,a2,…,an)=E=(0) C 主讲:张少强 其中={b()=(其中={b盖 标题页 当≠j时 0;当=j时,az →a1,a2,…,an是单位向量且两两正交 a1,a2,……,an是n维空间R的一个规范正交基 第10页共42页 性质2A为n阶正交矩阵々→A可逆,且A1=A→AA=AAT=E 全屏显示 性质3A为η阶正交矩阵令→A的行向量组是m维空间R的一个规范正交 基天津师范大学 ˝£: ï˛S» ê AäÜAï˛ É q › È°› Éq› g.9ŸIO/ ^ê{zg.§I. . .  ½  g . Ã˘: ‹r I K ê JJ II J I 1 10 ê
42 ê à £  ¶ w ´ ' 4 Ú — › 5üµ 5ü1 Aèn› ⇐⇒ Aï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ. y -A = (a1, a2, · · · , an). Aèn› ⇐⇒   a T 1 a T 2 . . . a T n   (a1, a2, · · · , an) = E = (δij), Ÿ•δij =  1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ (a T i aj) = (δij), Ÿ•δij =  1, i = j, 0, i 6= j ⇐⇒ i 6= jû, a T i aj = [ai , aj ] = 0; i = jû, a T i ai = [ai , ai ] = 1 ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥¸†ï˛Ö¸¸. ⇐⇒ a1, a2, · · · , an¥nëòmR nòá5âƒ. 5ü2 Aèn› ⇐⇒ A å_, ÖA−1 = AT ⇐⇒ ATA = AAT = E 5ü3 Aèn› ⇐⇒ A1ï˛|¥nëòmR nòá5â ƒ.