教案 平面和直线 教学内容 平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某 些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似,曲面在局部可以 用它的切平面来近似,所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本 元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要,而且是必须要 掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容: (1)平面和直线的代数表示,即它们的方程的形式如何?以及如何用向量 的运算方法来建立这些方程 (2)平面与平面,平面与直线、直线与直线,以及点与这些对象的位置关 系,如距离、夹角等,以及如何利用代数方法来处理。 教学思路和要求 (1)首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法 (2)讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。 (3)讲解平面与平面,平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法; (4)进一步,利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具 体计算方法 教学安排 平面方程的几种形式 在R3中,给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点,就可以唯一决定这 个平面。 与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面的法向量为 (,B,C),而且平面过点P(x0y=0)。对平面上的任何一点P(x,y,z),P 与P的连线依然在平面上,因而PP=(x-x0,y-y,2-0)与n垂直,即 H·PP=0 用分量表示,就是 A(x-x0)+B(y-y0)+C(=-20)=0 这个关系式称为平面的点法式方程 Po 记常数D=-(Ax0+Bya+C=0),则上述方程可以 写成 Ax+ By+C=+D=0 这个关系式称为平面的一般方程。 例6.2.1求过原点O0,0,0)和点P(6,-3,2),且 图62.1 与平面4x-y+2z=8垂直的平面方程。 解记所求平面为丌。因为过原点O(0,0,0)和点P(6,-3,2),所以其法向 量n应与OP=(6,-3,2)垂直。又m垂直于平面4x-y+2=8,所以n应与向量教 案 平面和直线 教学内容 平面和直线是几何学中最基本的研究对象，是一些向量空间和几何空间中某 些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似，曲面在局部可以 用它的切平面来近似，所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本 元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要，而且是必须要 掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容： （1）平面和直线的代数表示，即它们的方程的形式如何？以及如何用向量 的运算方法来建立这些方程； （2）平面与平面，平面与直线、直线与直线，以及点与这些对象的位置关 系，如距离、夹角等，以及如何利用代数方法来处理。 教学思路和要求 （1）首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法。 （2）讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。 （3）讲解平面与平面，平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法； （4）进一步，利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具 体计算方法。 教学安排 一． 平面方程的几种形式 在 3 R 中，给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点，就可以唯一决定这 个平面。 与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面  的法向量为 n(A, B, C) ，而且平面过点 P0 ( 0 0 0 x , y , z )。对平面  上的任何一点 P(x, y,z) ，P 与 P0 的连线依然在平面上，因而 ( , , ) 0 0 0 0 P P  x  x y  y z  z 与 n 垂直，即 n  P0P = 0。 用分量表示，就是 A(x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0， 这个关系式称为平面的点法式方程。 记常数 ( ) D   Ax0  By0  Cz0 ，则上述方程可以 写成 Ax  By Cz  D  0， 这个关系式称为平面的一般方程。 例 6.2.1 求过原点 O(0, 0, 0) 和点 P(6, 3, 2) ，且 与平面 4x  y  2z  8 垂直的平面方程。 解 记所求平面为  。因为  过原点 O(0, 0, 0) 和点 P(6, 3, 2) ，所以其法向 量 n 应与 OP  (6,  3, 2) 垂直。又  垂直于平面 4x  y  2z  8 ，所以 n 应与向量 z n P0 P  O y x 图 6.2.1