第70讲向量代数 263 第70讲向量代数 学生:老师,您好!本周我们主要学习向量代数您谈谈学习这门新知识应该注意哪些问题? 老师:你好!任何一门学问都有其特色,因此,宏观地讲,在学习一门新知识的过程中,既 要注意比较与已掌握知识的相同点、相近点,更要注意研究这门新知识在概念与方法上的新 的突破新的发展,具体到向量代数的学习,由于数学中在某个集合内规定了某些运算,便形 成了某个代数系统,各个代数系统有其自身的运算法则,所以一定要注意决不能把一个代数 系统的运算法则随意搬用到另一个代数系统中去 学生:具体到向量代数的学习上如何在初学时就能尽快避免把熟悉的实数运算法则漫 不经心地用到向量代数系统中去? 老师:我以为,首先应该在基本概念上下功夫,如向量代数定义了三种乘法,即数乘向 量数量积及向量积,对于这些基本概念,首先要牢记其定义: 向量a与一数量λ之积Ⅻ定义如下: λ>0,即与a同向; λ=0,即为零向量; aa 即与a反向. 其中a°是向量a的单位向量 数量积的定义为:两个非零向量a、b的数量积(也称为内积)等于这两个向量的模与它 们间夹角余弦的乘积,记为a·b,即a·b=|a|·|b|cos6,这里0表示向量a与b间的夹角 (0≤6≤x).由定义知,两个向量的数量积是一个实数,零向量与任何向量的数量积为0.数 量积的其他形式:当a≠0时,a·b=|a|Prjb;当b≠0时,a·b=|b|Pria;即两个向量的 数量积等于其中一个向量的模与另一向量在这向量方向上的投影的积 向量积的定义为:两个向量a与b的向量积(也称外积)仍是一个向量c,记作c=a×b c的模lel=|a|·|b·sin(a,b)(0≤(a,b)≤π),即c的模等于以向量a、b为邻边的 平行四边形的面积的数值,c的方向垂直于向量a与b确定的平面,其指向按右手规则从第 向量a转向第二向量b来确定 其次,了解定义的几何或物理意义也是很有必要的:向量与数乘在几何上相当于将向量进行 拉伸或压缩,当λ>1时,如是将向量a进行拉伸;当0≤λ<1时,a是将向量a进行压缩;当 λ<0时,是将原向量a反向后,对向量进行拉伸(|A|>1)或压缩(A<1) 数量积的物理意义是:物体在力F的作用下,位移为S,若F与S之间的夹间为9则力F 所作的功W=F·S=围F|·|s|cosq,即为F与S的数量积 向量积的物理意义是:设O为一根杠杆L的支点,力F作用于这杠杆上P点处,F与OF 的夹角为6则力F对支点O的力矩是一个向量M,M即为O声与F的向量积M=D声×F. 第三点,在向量的各种关系中,主要就是依赖它们的性质与运算求解各类问题的,所以 应该熟记其常用性质(这些性质都可由定义直接推出).数乘向量的性质有:①结合律A(m =A(a)=(4)a;②分配律(λ+p)a=如+,λ(a+b)=如+ 数量积的性质有:①a·a=|a2;②非零向量a⊥b的充分必要条件是a·b=0;③a·