则f1也是奇函数， 证因Hx∈(-l,l)有f(f1(-x)=-x,于是 x=-∫(f(-x)=f(-f(-x), f(x)=f1(f(-f1(-x)=-f1(-x). 即表明f1(x)是奇函数. 例1.1.3若f1为f的反函数，y=f1(-x)是y= f(-x)的反函数，试证f(x)是奇函数 证Iy=f1(-x)实为f1与g(x)≡-x的复合函数.即 f1(-x)=f(g(x)=(f1·g)(x), (1) 同理 f(-x)=f(g(x))=(f°g)(x). (2) 按题设条件，f1·g与f°g互为反函数，因此 g=(1g）1@g15, (3) (2) (3) 即Vx∈（-1，l)有f(-x)=(fg)(x)=(g1·f)(x)= -f(x). 所以f是奇函数. 证Ⅱ由y=f1(-x)可得f(y)=-x,即x=-f(y).这 表明，像点y=∫1(-x)找出它的原像是x=-f(y).即y= -f(x)是y=f1(-x)的反函数.但题中告诉我们y= f1(-x)是y=∫(-x)的反函数，故应有f(-x)=-f(x), Vx∈(-1，l),f是奇函数 证亚已知y=f1(-x)是y=f(-x)的反函数，表明y= f(-x)台x=f1(-y).因此Hx∈R有f(x)=f(f1(-y)= 一y=-f(-x).所以f为奇函数. 注用类似方法也可先证明1(x)是奇函数，然后利用例 1.1.2的结果，推知f(x)是奇函数. ☆例1.1.4试证：任一对称区间(-l,1)上的任一函数 f(x),总可以表成一偶函数H(x)与一奇函数G(x)的和，而且此 种表示法是唯一的.（合肥工业大学） ·3