分析假设已找到如此的奇、偶函数G(x)、H(x),使得 f(x)=H(x)+G(x),用-x替代其中的x,有 f(-x)=H(x)-G(x). 如此我们看到，不仅f(x)是它们的和，而且f(-x)是它们的差. 算术中的和差问题：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数.可 知 H(x)=f(z)+f(-x) 2 (1) G(x)=f(x)-f(-x) 2 (2) 这就证明了，H(x)、G(x)若存在必唯一.反之用以上(1)、(2)两 式定义出来的H(x)、G(x),显然符合全部条件，所以存在性成 立，f(x)=H(x)+G(x). 三、周期函数 所谓f(x)是R上定义的周期函数，指存在实数T,使得x ∈R,有f(x+T)=f(x).这时T称为f的周期.显然此时T的 任意整倍数mT亦为f的周期.若已知T,、T2为f的周期，则 T:±T2也必为f的周期. 是否任何周期函数一定存在最小正周期，当然不是，如常数函 数.除常数之外呢？也不是.如在无理点上取值0，有理点上取值1 的Dirichlet函数D(x),显然对每个自然数n,“1"都是D(x)的 正周期，无最小正周期. 在下章例2.1.10中我们将证明：连续的周期函数必有最小正 周期.下面看一个求周期的问题. 例1.1.5设f(x)是R上的有界实函数，且 fx+)+f(x)=f(红+)+f(x+号) (Vx∈R) 试求出f的较小的正周期， ·4 ，弄：发等：在