在上述条件下,我们研究顾客到达数n的概率分布。 由条件2°,我们总可以取时间由0算起,并简记P(0,D)=Pn() 由条件1°和2°,有 f(t+△)=P(D)(△ P(t+△)=∑P-(1)P(△),n 由条件2和3°得 P(△)=1-AAt+o(△) 因而有 (t+A)-f() 0(△) P(t+△)-P(D AP(0)+1Pn-(0) O(△) At 在以上两式中,取M趋于零的极限,当假设所涉及的函数可导时,得到以下微分方程 dP(n APo(t) dt An(1)+APBn1(1),n=1,2 取初值P(0)=1,P(0)=0(n=12,…),容易解出P(1)=e;再令 P()=Un()e,可以得到U(t)及其它Un()所满足的微分方程组,即 dU (0) aUn-(0), ()=1,Un(1)=0 由此容易解得 Pn() (lr) n= 正如在概率论中所学过的,我们说随机变量{N()=N(s+1)-N(s)}服从泊松分 布。它的数学期望和方差分别是 EIN(J= At: Var[N(J=at 当输入过程是泊松流时,那么顾客相继到达的时间间隔T必服从指数分布。这是 由于 P{T>l}=P{[0,1)内呼叫次数为零}=P(1)=e 那么,以F(1)表示T的分布函数,则有 t≥0 P{T≤l}=F(t) 而分布密度函数为 t>-121- 在上述条件下，我们研究顾客到达数n 的概率分布。 由条件 2o ，我们总可以取时间由 0 算起，并简记 P (0,t) P (t) n = n 。 由条件 1o 和 2o ，有 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 P t + Δt = P t P Δt ∑= + Δ = − Δ = n k Pn t t Pn k t Pk t n 0 ( ) ( ) ( ), 1,2,L 由条件 2o 和 3o 得 ( ) 1 ( ) 0 P Δt = − λΔt + o Δt 因而有 t o t P t t P t t P t Δ Δ = − + Δ + Δ − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 λ ， t o t P t P t t P t t P t n n n n Δ Δ = − + + Δ + Δ − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ 1 . 在以上两式中，取 Δt 趋于零的极限，当假设所涉及的函数可导时，得到以下微分方程 组： ( ) ( ) 0 0 P t dt dP t = −λ ， ( ) ( ), 1,2,L ( ) = − P t + P −1 t n = dt dP t n n n λ λ . 取初值 P0 (0) = 1 ， P (0) = 0(n = 1,2,L) n ，容易解出 t P t e−λ 0 ( ) = ；再令 t n n P t U t e−λ ( ) = ( ) ，可以得到 ( ) 0 U t 及其它U (t) n 所满足的微分方程组，即 ( ), 1,2, , ( ) = U −1 t n = L dt dU t n n λ U0 (t) =1，Un (t) = 0 . 由此容易解得 , 1,2,L ! ( ) ( ) = = − e n n t P t t n n λ λ . 正如在概率论中所学过的，我们说随机变量{N(t) = N(s + t) − N(s)}服从泊松分 布。它的数学期望和方差分别是 E[N(t)] = λt ； Var[N(t)] = λt 。 当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔T 必服从指数分布。这是 由于 P{T > t} = P{[0,t) 内呼叫次数为零 t P t e−λ } = 0 ( ) = 那么，以 F(t) 表示T 的分布函数，则有 ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ ≤ = = − 0, 0 1 , 0 { } ( ) t e t P T t F t λt 而分布密度函数为 ( ) = , > 0 − f t e t λt λ