Vol.19 樊世清等：金属疲劳断裂过程中的尖点突变模型 ·59· 式中：K一试样机主轴的刚度.由式(9)，式(10)可以得到系统的势函数表达式为： V=k*1,[-e-al,+△)+lJ+K(t-△I)22 (11) 根据突变理论，势函数的一阶导数为平衡曲面方程，则可得： V'=k*△le-a,)-K(t-△I) (12) 由V=0,可得： k*△lea)=K(t-△) (13) 结合式(7)，(8)可知，上式正是力学系统的平衡条件式F=f通过进一求导得到奇点集： V"=k*e-a(1-△l/)+K (14) 由上式可知，系统在外载荷作用下所产生的位移并不决定系统能否发生突变，因为其中k*, ,K和状态参量△都是力学系统的内部参量，这正说明了是否发生突变只与系统本身相关， 可以进一步求导而得突变模型的尖点： V""=-2k*e-(ainll +k*e-aimAlll (15) 由V"=0,可得： △1=2l (16) 以上就是本突变模型的尖点所处的位置，求势函数的四阶导数为： V=3*e-a/-k*e~a△I/l (17) 将平衡曲面方程在尖点时的状态变量△1=21，处进行泰勒展开，并截取至三次项，则得： 2k*l.e2+K(t-2l)+(K-k*e-2)(△1-2l)+k*e-2(△1-2l)3/=0 令x=△l-2l,则进一步得到： x+px+q=0 (18) 其中： p=(K-k*e2)/(k*e-2)=[K/(k*e-)-1] (19) 9=[2k*1.e-2+K(t-2l,)l/k*e-2)=[2l,+K(t-2l)/k*e]6 (20) 式(18)就是尖点突变模型的标准平衡曲面方程，控制变量P,9由式(19)，(20)给出 将式(11)在尖点处展开并截取至四次项，则得到： V*=y+py+qy+m (21) 其中：m=[k*(3e4+)+K(t-2l)2/2]/k*e/6:V*=/(k*e). (22) 式(21)就是疲劳断裂过程中的尖点突变模型的势函数的标准表达式.至此，已经完成了对 在疲劳断裂过程中所存在的尖点突变模型的数学描述， 对于以上的理论结果，作以下几点分析和说明： (1)当D增加时，由于材料的延性耗散，6减小，由式(6)可知，d的变化速率亦加 快，这符合疲劳过程中，材料损伤随着循环数的增加而增加的事实· (2)式(18)要成立，必须有：p≤0，即： (K-k*e)l6/(k*e)≤0，即K≤k*e2. (23) 由式(7)可知：当△l=2l,时，拉伸曲线上的斜率（称为试样的瞬时有效刚度）为：k.=-k*2, 即当试验机主轴的刚度等于或小于试样瞬时有效刚度的绝对值时，突变发生.在循环载荷 作用的初期，材料具有较好的延性，不能满足上述条件，只有当循环数接近寿命时，以前循 环中所产生的损伤对材料性能的影响和最后一个循环中材料性能的加剧劣化才使上式成Vb l . 19 樊世清等 :金属疲劳断裂过程中的尖点突变模型 式 中 : K 一 试样 机 主轴 的刚 度 . 由式 ( 9) , 式 ( 10 ) 可 以得 到系 统的势函数表达式为: F = k * l b [ 一 e ( 一 △ `刀 · ) ( I h + △l ) + l h』+ K ( t 一 A I ) , / 2 ( 11 ) 根 据突 变理 论 , 势 函数的一 阶导数为 平衡曲面方 程 , 则可得 : V ` = k * △l e ( 一 A` /` “ ) 一 K ( r 一 △l ) ( 12 ) 由 r 二 O , 可得 : k * △l e `一 △`声 ” ) = K ( t 一 △l ) ( 1 3 ) 结合 式 (7 ) , (8 ) 可 知 , 上 式 正是力 学系 统 的平 衡条 件式 F = f 通过 进一 求导得 到奇 点集 : V ` ’ = k * e ( 一 △“ ` “ ) ( l 一 △l / l h ) + K ( 14 ) 由上式 可知 , 系 统在 外载 荷作 用下所 产 生的位移 并 不决定 系统 能否 发 生 突 变 , 因为 其中k * , 几 , K 和状态参量 lA 都是 力学 系统 的 内部 参量 , 这 正说明了是否发生突变只与系统本身相关 . 可 以进 一 步求导而得 突 变模型 的尖点: V ` ’ ` = 一 Zk * e 一 ` A`刀 h , / l b + k * e` 一 八“ ` “ ,△l / l之 ( 15 ) 由 V ’ ` ’ = 0 , 可得 : A I = Z l h 一 ( 16 ) 以上 就是 本 突变模 型 的尖点所 处的位置 , 求势 函数的 四 阶导数为 : 洲 4 , = 3 k * e ` 一 △`刀 h , l/孟一 k * e `一 △“ ` h ,A I /l乳 ( 17 ) 将平 衡 曲面方 程在尖点时的状态变量 lA = 2ln 处进行泰勒展开 , 并截取至三次项 , 则得 : Zk * l h e 一 2 + K ( t 一 Zl b ) + ( K 一 k * e 一 ’ ) (△l 一 Zl h ) + k * e 一 ’ (△ , 一 Zl h ) , / l卜 o 令 x = △l 一 21 , 则进 一步 得 到 : x , + p x + q = O ( 18 ) 其中 : p = (K 一 k * e 一 , ) l ; /( k * e 一 , ) = [K /( k * e 一 , ) 一 l ] l孟 ( 19 ) 叼= [Zk * l 、 e 一 ’ + K ( r 一 Zl h ) ] l h Z /( k * e 一 ’ ) = [Z l b + K ( r 一 Z l b ) /(儿 * e 一 ’ ) ] z乙 ( 20 ) 式 ( 18) 就是 尖点 突 变模 型的标 准平 衡 曲面方程 , 控 制变量 p , q 由式 ( 19 ) , ( 2 0) 给出 . 将式 ( 11) 在 尖 点处展 开 并截取 至 四 次项 , 则得 到 : V * = 夕4 + p 夕, + 召夕+ m ( 2 1) 其中: m = [ k * ( 3 e 一 ’ l ; + l孟) + K ( t 一 Zl b ) , / 2 ]/( k * e 一 ’ / l孟) : V * = 叭孟/( k * e 一 ’ ) . ( 2 2 ) 式 ( 21 )就 是疲 劳 断裂过 程 中的尖 点突 变模型 的势 函数的标 准表达 式 . 至此 , 已经完 成 了对 在疲劳断裂过 程 中所存在 的尖点 突变模型 的数学 描述 . 对于 以上 的理 论结 果 , 作以 下几 点分析和说明 : ( l) 当 D 增 加 时 , 由于 材 料 的延 性 耗 散 , 气 减小 , 由式 ( 6) 可 知 , d 的 变 化 速 率亦 加 快 , 这符 合疲 劳 过程 中 , 材料损 伤 随着循环 数的增加 而增 加 的事 实 . ( 2 ) 式 ( 1 8 ) 要 成立 , 必 须有 : p 簇 0 , 即 : (K 一 k * e 一 ’ ) l孟/( k * e 一 ’ ) 蕊 0 , 即 K 蕊 k * e 一 ’ . ( 2 3 ) 由式 (7 ) 可知 : 当△l = Zl b 时 , 拉伸 曲线 上 的斜 率 (称 为试 样 的 瞬 时 有 效 刚 度 ) 为 : k , 二 一 k * e 一 2 , 即 当试验机 主轴 的刚 度等于 或小 于试 样瞬时有效 刚度 的 绝对值时 , 突 变 发 生 . 在 循 环 载 荷 作用 的初期 , 材料具有较好的延性 , 不 能满足 上 述 条件 , 只有 当循环 数接近 寿命时 , 以 前循 环 中所产 生 的损 伤 对材 料性 能 的影响 和最 后 一 个 循 环 中材 料 性 能的 加 剧 劣 化 才使上 式 成