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第7期 吴小雪等：不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 .827, 假设2系统(1)中的不确定矩阵△A:、△B:和 引理1山设x,y∈R“为任意两个向量，e为 △H(i,j=1,2,…,N)满足： 任意一个正常数，则有 △A:=DF:(t)E,△B:=DFi(t)Ei 2rTy≤erx+eyy △H=D时F(t)Eh前 引理2]对分块矩阵H=[H]×a,存在矩 其中，D、Di、D、E、E:和E时是具有适当维数 阵H(i=1,2,,N)使得H=》以且 的常值矩阵.F:(t)、F(t)和Fh(t)满足： F(t)F(t)≤I,F(t)F(t)≤I, 会是块对角矩降 F:(t)Fbi(t)≤I. 引理3对分块矩阵△H=[△H]n×n,存在矩 当不确定性满足假设2的要求时称其为容许 阵Di、F:(t)和E:(i=1,2,,N),使得△H 的 本文所要研究的问题是：对给定的不确定大系 一宁A点()，且空n以是块对角E车 统(1)，设计分散线性无记忆状态反馈控制器 证明：保留△H的第“i行”，即[△Hh1,△H2,…, 4:=一Kx,（i=1,2,…,N) (3) △Hw],其余各子块都改写为0，所得矩阵记为△H:, 使得对于系统所有容许的不确定性，闭环系统 则 x:(t)=[A:十△A:]x(t)一[B:+△B:]Kx(t)+ △H= 会[%+a1-5w) △H(i=1,2,…,N), (4) 设 渐近稳定 0 0 引入以下记号： A=diag[A1,A2,.AN].B=diag[Bi,B2.By]. 0 0 D=diag[Di,D2,…,Dx],D=diag[Dl,D2…,Dv], D:= Dhl… DhiN E=diag[E,E2,…,Ev],E=iag[E1,E2,…,EN], 0 0 F(t)=diag[F1(t),F2(t),..,Fn(t)], 0 0 F(t)=diag[Fbl(t),F2(t),.,FbN(t)] K=diag[K1,K2,…,Kw], Fhi(t)=[Fhi(t),Fhi2(t),.,FhiN(t)], H11H12… HN Ehi=diag[Ehil,Eh2,.,EhiN], H21H22 H2N 则△H=D:F:(t)E:(i=1,2,,N),从而 H[Hij]nx △H-空△M=空nn:(dE号引理证毕. LHN1H2· HNN nXn [△h1△H2…△hN 2主要结果及其证明 △h1△H2z…△N △H=[△H]n×m= 定理1在假设1和假设2的条件下，若存在 ξ： 正常数co、、e2和常数矩阵K,使得Riccati矩阵 L△N△H2.△HNXm 不等式 其中，L.∈RX,△H∈Rn=子. S=P(A-BK)+(A-BK)T P+PTP+Q<0 (6) 利用这些约定，闭环系统(4)可写为： 有对称正定解P=diag[P1,P2,,Px],则采用状 (t)=[A+DF(t)E]x(t)- 态反馈控制律(3)时，系统(1)的闭环系统(5)是渐近 [B+D,F.(t)E]Kx(t)+[H十△H]xx(5) 稳定的。其中， 其中， T=E0 DDT+ED D+ x1(t)] x1(t-(t) x2(t) x2(t2(t) 产空af+亭空A x(t)= Q=0EE+KEEK+21EEh十1 LN(t) LxN(t-EN(t)) 这里，假设2 系统（1）中的不确定矩阵ΔAi、ΔBi 和 ΔHij（ ij＝12…N）满足： ΔAi＝ DiFi（ t） EiΔBi＝ Db iFb i（ t） Eb i ΔHij＝ Dh ijFh ij（ t） Eh ij． 其中Di、Db i、Dh ij、Ei、Eb i和 Eh ij是具有适当维数 的常值矩阵．Fi（ t）、Fb i（ t）和 Fh ij（ t）满足： F T i （ t）Fi（ t）≤ IF T h ij（ t）Fh ij（ t）≤ I F T b i（ t）Fb i（ t）≤ I． 当不确定性满足假设2的要求时称其为容许 的． 本文所要研究的问题是：对给定的不确定大系 统（1）设计分散线性无记忆状态反馈控制器 ui＝— Kixi（ i＝12…N） （3） 使得对于系统所有容许的不确定性闭环系统 x · i（ t）＝［ Ai＋ΔAi］ xi（ t）—［ Bi＋ΔBi］ Kixi（ t）＋ ∑ N j＝1 ［ Hij＋ΔHij ］ xj（ t—τj（ t）） （4） 渐近稳定． 引入以下记号： A＝diag［ A1A2…AN ］B＝diag［ B1B2…BN ］ D＝diag［ D1D2…DN］Db＝diag［ Db1Db2…DbN］ E＝diag［ E1E2…EN］Eb＝diag［ Eb1Eb2…EbN］ F（ t）＝diag［ F1（ t）F2（ t）…FN（ t）］ Fb（ t）＝diag［ Fb1（ t）Fb2（ t）…Fb N（ t）］ K＝diag［ K1K2…KN ］ H＝［ Hij ］ n× n＝ H11 H12 … H1N H21 H22 … H2N HN1 HN2 … HNN n× n ΔH＝［ΔHij］ n×n＝ ΔH11 ΔH12 … ΔH1N ΔH21 ΔH22 … ΔH2N ΔHN1 ΔHN2 … ΔHNN n×n 其中Hii∈R n i× n iΔHii∈R n i× n i n＝ ∑ N i＝1 ni ． 利用这些约定闭环系统（4）可写为： x · （ t）＝［ A＋ DF（ t） E］ x（ t）— ［ B＋ Db Fb（ t） Eb ］ Kx（ t）＋［ H＋ΔH］ xτ （5） 其中 x（ t）＝ x1（ t） x2（ t） xN（ t） xτ＝ x1（ t—τ1（ t）） x2（ t—τ2（ t）） xN（ t—τN（ t）） ． 引理1［11］ 设 xy∈R n 为任意两个向量ε为 任意一个正常数则有 2x T y≤εx T x＋ε—1 y T y 引理2［9］ 对分块矩阵 H＝［ Hij ］ n× n存在矩 阵 Hi （ i ＝12…N ）使 得 H ＝ ∑ N i＝1 Hi 且 ∑ N i＝1 HiH T i 是块对角矩阵． 引理3 对分块矩阵ΔH＝［ΔHij ］ n× n存在矩 阵 Dh i、Fh i （ t）和 Eh i （ i＝12…N）使得 ΔH ＝ ∑ N i＝1 Dh iFh i（ t） Eh i且 ∑ N i＝1 Dh iD T h i是块对角矩阵． 证明：保留ΔH 的第“ i 行”即［ΔHi1ΔHi2… ΔHiN ］其余各子块都改写为0所得矩阵记为ΔHi 则 ΔH＝ ∑ N i＝1 ΔHi（ i＝12…N） 设 Dh i＝ 0 … 0 0 … 0 Dh i1 … Dh iN 0 … 0 0 … 0 Fh i（ t）＝［ Fh i1（ t）Fh i2（ t）…Fh iN（ t）］ Eh i＝diag［ Eh i1Eh i2…Eh iN ］ 则ΔHi ＝ Dh i Fh i （ t ） Eh i （ i ＝12…N）从而 ΔH＝ ∑ N i＝1 ΔHi＝ ∑ N i＝1 Dh iFh i（ t） Eh i．引理证毕． 2 主要结果及其证明 定理1 在假设1和假设2的条件下若存在 正常数 ε0、ε1、ε2 和常数矩阵 K使得 Riccati 矩阵 不等式 S＝P（ A—BK）＋（ A—BK） T P＋PTP＋ Q＜0 （6） 有对称正定解 P＝diag ［ P1P2…PN ］则采用状 态反馈控制律（3）时系统（1）的闭环系统（5）是渐近 稳定的．其中 T＝ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i Q＝ε—1 0 E T E＋ε—1 1 K T E T b Eb K＋ε—1 2 E ～ T h E ～ h＋ I． 这里 第7期 吴小雪等： 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 ·827·