D0I:10.13374/i.issnl001t03.2008.07.051 第30卷第7期 北京科技大学学报 Vol.30 No.7 2008年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju.2008 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 吴小雪廖福成 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要研究了一类不确定组合系统的状态反馈分散鲁棒镇定问题，利用Riccati矩阵不等式方法，给出其可分散反馈镇定 的充分条件，并利用线性矩阵不等式方法给出了分散控制律的设计方案.最后用数值仿真证明了这种方法的有效性 关键词组合系统；时变时滞：分散鲁棒镇定：线性矩阵不等式 分类号TP273 Decentralized robust stabilization for a class of uncertain composite system with time-varying delay WU Xiaoxue.LIAO Fucheng School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A class of uncertain composite system was concerned with the decentralized robust feedback stabilization problem.A sufficient condition for decentralized stabilization feedback stabilization was derived by the Riccati matrix inequality techniques.By us- ing the linear matrix inequality techniques.the design scheme of quadratically decentralized stabilization was proposed.Finally.simu- lation results show that the scheme is effective. KEY WORDS composite system:time varying delay:decentralized robust stabilization:linear matrix inequality 在控制系统中，存在着很多大系统的控制问题 x:(t)=[A:十△A:]x:(t)+[B:十△B:]u:(t)十 而不确定时滞大系统的鲁棒镇定问题的研究受到了 众多研究者的关注，并且已经取得了不少成 房%+a%1一0》 果).近年来，有很多学者采用LM方法来解决 x:(t)=p:(t),t∈[-h,0],(i=1,2,…,N) 大系统的分散鲁棒镇定问题一).文献[10]讨论了 (1) 一类时滞组合系统的分散镇定问题，但系统中不含 其中，x:(t)∈R是第i个子系统的状态向量， 不确定性，时滞是常数且仅存在于关联项中；文献 (t)∈Rm是第i个子系统的控制输入向量，A:、B: [11]讨论了一类互联项与孤立子系统均含有时变时 和H是具有适当维数的常值矩阵，△A:、△B:和 滞的不确定组合系统的状态反馈鲁棒分散控制问 题；文献[12]讨论了互联项具有时滯和外部扰动的 △H是系统的不确定参数矩阵，(t)(j=1,2,, 组合系统的分散鲁棒镇定问题，本文在文献[11]的 N)为时变时滞 基础上，研究一类控制输入矩阵和系统关联矩阵中 对系统(1)，作如下假设 含有不确定项，关联项中含有时变时滞的不确定组 假设1对任意时刻t,存在常数h和k,使得 合系统的分散鲁棒镇定问题 0≤(t)≤h,(t)≤k<1(j=1,2,,N)(2) 1问题描述 成立， 直观上，这一假设要求所有时滞都是非负有界 考虑不确定大系统： 的，且增长不太快 收稿日期：2007-05-27修回日期：2007-07-06 作者简介：吴小雪(1981一)，女，顾士研究生；廖福成(l957一)，男，博士，教授，E-mail:fiao@sas-ustb-cdcm
不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 吴小雪 廖福成 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 研究了一类不确定组合系统的状态反馈分散鲁棒镇定问题．利用 Riccati 矩阵不等式方法给出其可分散反馈镇定 的充分条件并利用线性矩阵不等式方法给出了分散控制律的设计方案．最后用数值仿真证明了这种方法的有效性． 关键词 组合系统；时变时滞；分散鲁棒镇定；线性矩阵不等式 分类号 TP273 Decentralized robust stabilization for a class of uncertain composite system with time-varying delay W U XiaoxueLIA O Fucheng School of Applied ScienceUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A class of uncertain composite system was concerned with the decentralized robust feedback stabilization problem．A sufficient condition for decentralized stabilization feedback stabilization was derived by the Riccati matrix inequality techniques．By using the linear matrix inequality techniquesthe design scheme of quadratically decentralized stabilization was proposed．Finallysimulation results show that the scheme is effective． KEY WORDS composite system；time-varying delay；decentralized robust stabilization；linear matrix inequality 收稿日期：2007-05-27 修回日期：2007-07-06 作者简介：吴小雪（1981—）女硕士研究生；廖福成（1957—）男博士教授E-mail：fcliao＠sas．ustb．edu．cn 在控制系统中存在着很多大系统的控制问题． 而不确定时滞大系统的鲁棒镇定问题的研究受到了 众多 研 究 者 的 关 注并 且 已 经 取 得 了 不 少 成 果［1—5］．近年来有很多学者采用 LMI 方法来解决 大系统的分散鲁棒镇定问题［6—9］．文献［10］讨论了 一类时滞组合系统的分散镇定问题但系统中不含 不确定性时滞是常数且仅存在于关联项中；文献 ［11］讨论了一类互联项与孤立子系统均含有时变时 滞的不确定组合系统的状态反馈鲁棒分散控制问 题；文献［12］讨论了互联项具有时滞和外部扰动的 组合系统的分散鲁棒镇定问题．本文在文献［11］的 基础上研究一类控制输入矩阵和系统关联矩阵中 含有不确定项关联项中含有时变时滞的不确定组 合系统的分散鲁棒镇定问题． 1 问题描述 考虑不确定大系统： x · i（ t）＝［ Ai＋ΔAi］ xi（ t）＋［ Bi＋ΔBi］ ui（ t）＋ ∑ N j＝1 ［ Hij＋ΔHij ］ xj（ t—τj（ t）） xi（ t）＝φi（ t）t∈［—h0］（ i＝12…N） （1） 其中xi （ t ） ∈R n i 是第 i 个子系统的状态向量 ui（ t）∈R mi是第 i 个子系统的控制输入向量Ai、Bi 和 Hij 是具有适当维数的常值矩阵ΔAi、ΔBi 和 ΔHij是系统的不确定参数矩阵τj （ t）（ j＝12… N）为时变时滞． 对系统（1）作如下假设． 假设1 对任意时刻 t存在常数 h 和 k使得 0≤τj（ t）≤hτ · j（ t）≤k＜1（ j＝12…N）（2） 成立． 直观上这一假设要求所有时滞都是非负有界 的且增长不太快． 第30卷 第7期 2008年 7月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．7 Jul．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．07．051
第7期 吴小雪等：不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 .827, 假设2系统(1)中的不确定矩阵△A:、△B:和 引理1山设x,y∈R“为任意两个向量，e为 △H(i,j=1,2,…,N)满足： 任意一个正常数，则有 △A:=DF:(t)E,△B:=DFi(t)Ei 2rTy≤erx+eyy △H=D时F(t)Eh前 引理2]对分块矩阵H=[H]×a,存在矩 其中，D、Di、D、E、E:和E时是具有适当维数 阵H(i=1,2,,N)使得H=》以且 的常值矩阵.F:(t)、F(t)和Fh(t)满足： F(t)F(t)≤I,F(t)F(t)≤I, 会是块对角矩降 F:(t)Fbi(t)≤I. 引理3对分块矩阵△H=[△H]n×n,存在矩 当不确定性满足假设2的要求时称其为容许 阵Di、F:(t)和E:(i=1,2,,N),使得△H 的 本文所要研究的问题是：对给定的不确定大系 一宁A点()，且空n以是块对角E车 统(1)，设计分散线性无记忆状态反馈控制器 证明：保留△H的第“i行”，即[△Hh1,△H2,…, 4:=一Kx,（i=1,2,…,N) (3) △Hw],其余各子块都改写为0，所得矩阵记为△H:, 使得对于系统所有容许的不确定性，闭环系统 则 x:(t)=[A:十△A:]x(t)一[B:+△B:]Kx(t)+ △H= 会[%+a1-5w) △H(i=1,2,…,N), (4) 设 渐近稳定 0 0 引入以下记号： A=diag[A1,A2,.AN].B=diag[Bi,B2.By]. 0 0 D=diag[Di,D2,…,Dx],D=diag[Dl,D2…,Dv], D:= Dhl… DhiN E=diag[E,E2,…,Ev],E=iag[E1,E2,…,EN], 0 0 F(t)=diag[F1(t),F2(t),..,Fn(t)], 0 0 F(t)=diag[Fbl(t),F2(t),.,FbN(t)] K=diag[K1,K2,…,Kw], Fhi(t)=[Fhi(t),Fhi2(t),.,FhiN(t)], H11H12… HN Ehi=diag[Ehil,Eh2,.,EhiN], H21H22 H2N 则△H=D:F:(t)E:(i=1,2,,N),从而 H[Hij]nx △H-空△M=空nn:(dE号引理证毕. LHN1H2· HNN nXn [△h1△H2…△hN 2主要结果及其证明 △h1△H2z…△N △H=[△H]n×m= 定理1在假设1和假设2的条件下，若存在 ξ： 正常数co、、e2和常数矩阵K,使得Riccati矩阵 L△N△H2.△HNXm 不等式 其中，L.∈RX,△H∈Rn=子. S=P(A-BK)+(A-BK)T P+PTP+Q<0 (6) 利用这些约定，闭环系统(4)可写为： 有对称正定解P=diag[P1,P2,,Px],则采用状 (t)=[A+DF(t)E]x(t)- 态反馈控制律(3)时，系统(1)的闭环系统(5)是渐近 [B+D,F.(t)E]Kx(t)+[H十△H]xx(5) 稳定的。其中， 其中， T=E0 DDT+ED D+ x1(t)] x1(t-(t) x2(t) x2(t2(t) 产空af+亭空A x(t)= Q=0EE+KEEK+21EEh十1 LN(t) LxN(t-EN(t)) 这里
假设2 系统（1）中的不确定矩阵ΔAi、ΔBi 和 ΔHij（ ij＝12…N）满足： ΔAi＝ DiFi（ t） EiΔBi＝ Db iFb i（ t） Eb i ΔHij＝ Dh ijFh ij（ t） Eh ij． 其中Di、Db i、Dh ij、Ei、Eb i和 Eh ij是具有适当维数 的常值矩阵．Fi（ t）、Fb i（ t）和 Fh ij（ t）满足： F T i （ t）Fi（ t）≤ IF T h ij（ t）Fh ij（ t）≤ I F T b i（ t）Fb i（ t）≤ I． 当不确定性满足假设2的要求时称其为容许 的． 本文所要研究的问题是：对给定的不确定大系 统（1）设计分散线性无记忆状态反馈控制器 ui＝— Kixi（ i＝12…N） （3） 使得对于系统所有容许的不确定性闭环系统 x · i（ t）＝［ Ai＋ΔAi］ xi（ t）—［ Bi＋ΔBi］ Kixi（ t）＋ ∑ N j＝1 ［ Hij＋ΔHij ］ xj（ t—τj（ t）） （4） 渐近稳定． 引入以下记号： A＝diag［ A1A2…AN ］B＝diag［ B1B2…BN ］ D＝diag［ D1D2…DN］Db＝diag［ Db1Db2…DbN］ E＝diag［ E1E2…EN］Eb＝diag［ Eb1Eb2…EbN］ F（ t）＝diag［ F1（ t）F2（ t）…FN（ t）］ Fb（ t）＝diag［ Fb1（ t）Fb2（ t）…Fb N（ t）］ K＝diag［ K1K2…KN ］ H＝［ Hij ］ n× n＝ H11 H12 … H1N H21 H22 … H2N HN1 HN2 … HNN n× n ΔH＝［ΔHij］ n×n＝ ΔH11 ΔH12 … ΔH1N ΔH21 ΔH22 … ΔH2N ΔHN1 ΔHN2 … ΔHNN n×n 其中Hii∈R n i× n iΔHii∈R n i× n i n＝ ∑ N i＝1 ni ． 利用这些约定闭环系统（4）可写为： x · （ t）＝［ A＋ DF（ t） E］ x（ t）— ［ B＋ Db Fb（ t） Eb ］ Kx（ t）＋［ H＋ΔH］ xτ （5） 其中 x（ t）＝ x1（ t） x2（ t） xN（ t） xτ＝ x1（ t—τ1（ t）） x2（ t—τ2（ t）） xN（ t—τN（ t）） ． 引理1［11］ 设 xy∈R n 为任意两个向量ε为 任意一个正常数则有 2x T y≤εx T x＋ε—1 y T y 引理2［9］ 对分块矩阵 H＝［ Hij ］ n× n存在矩 阵 Hi （ i ＝12…N ）使 得 H ＝ ∑ N i＝1 Hi 且 ∑ N i＝1 HiH T i 是块对角矩阵． 引理3 对分块矩阵ΔH＝［ΔHij ］ n× n存在矩 阵 Dh i、Fh i （ t）和 Eh i （ i＝12…N）使得 ΔH ＝ ∑ N i＝1 Dh iFh i（ t） Eh i且 ∑ N i＝1 Dh iD T h i是块对角矩阵． 证明：保留ΔH 的第“ i 行”即［ΔHi1ΔHi2… ΔHiN ］其余各子块都改写为0所得矩阵记为ΔHi 则 ΔH＝ ∑ N i＝1 ΔHi（ i＝12…N） 设 Dh i＝ 0 … 0 0 … 0 Dh i1 … Dh iN 0 … 0 0 … 0 Fh i（ t）＝［ Fh i1（ t）Fh i2（ t）…Fh iN（ t）］ Eh i＝diag［ Eh i1Eh i2…Eh iN ］ 则ΔHi ＝ Dh i Fh i （ t ） Eh i （ i ＝12…N）从而 ΔH＝ ∑ N i＝1 ΔHi＝ ∑ N i＝1 Dh iFh i（ t） Eh i．引理证毕． 2 主要结果及其证明 定理1 在假设1和假设2的条件下若存在 正常数 ε0、ε1、ε2 和常数矩阵 K使得 Riccati 矩阵 不等式 S＝P（ A—BK）＋（ A—BK） T P＋PTP＋ Q＜0 （6） 有对称正定解 P＝diag ［ P1P2…PN ］则采用状 态反馈控制律（3）时系统（1）的闭环系统（5）是渐近 稳定的．其中 T＝ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i Q＝ε—1 0 E T E＋ε—1 1 K T E T b Eb K＋ε—1 2 E ～ T h E ～ h＋ I． 这里 第7期 吴小雪等： 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 ·827·
.828 北京科技大学学报 第30卷 E=diag[E,E2,…,Ex], 2x"(t)PDF(t)E Kx()+ Ehlj 2x(t)P[H+△H]x,+ E= En2j (j=1,2,…,N) 房os'医+n5e L EaN (1-)空4-50)： 证明：由于P>0,故取Lyapunow泛函V(x(t),t)= (2EE十)x(t-(t) (8) ()(E写)，()do 对式(8)各项的上界进行估计.利用引理2可 显然V(x(t),t)正定，且V(x(t),t)具有无穷小上 得： 界，无限大性质，V(x(t),t)沿系统(5)的轨线的全 2x"(t)PDF(t)Ex(t)x(t)PDDT Px(t)+ 导数为： x"(t)ETEx(t) (9) v(x().t)=x()[PA+ATP-PBK- -2x(t)PD,(t)EKx(t)≤x'(t)· KTBT P]x(t)+2x()PDF(t)E(t)- PD D Px(t)+ex"(t)KT EE Kx(t) 2x"(t)PDF(t)EKx(t)+2x(t)P[H (10) △m+户e耳西+D5w 利用引理1和引理2可得： 空d-e》-5e 2x)Pk:=2P空h≤ (EE十I)x(t-(t) (7) 由0≤(t)≤h,(t)≤k<1(j=1,2,…,N)可 产'(e)A空aPr(o)+(1-) 得： V(x(t).t)x ()[PA+AT P-PBK- 空-0)(-5》 (11) KT B P]x(t)+2x(t)PDF(t)Ex(t)- 利用引理1和引理3可得： 20P(em=2rP空nk0Br= o空n风pa(e+1-0[i:-o》-o) …x(t-t(t)] (EEan十.十EnEM) x1(t-1(t) x2(t-2(t) (EBINEIN十…十EENNEbNN)）Lxx(t一Tx(t) 产'r空a,风x(e)+'-空&-5e)Es&o) (12) 将(11)式与(12)式合并，可得： 2x(t)P(H+△H)x:= 含0(5'Eg+e)= 是'r空nP()汁 EE 2x(t) EE2 x(t)+ 'oA空aP(e+ ENEN (1-空-5( 之()(0 (14) (21EE十)x(t-() (13) 将式(9)、(10)、(13)和(14)代入式(7)可得： 又
E ～ h＝diag［ E1E2…EN ］ Ej＝ Eh1j Eh2j Eh Nj （ j＝12…N）． 证明：由于 P＞0故取 Lyapunov 泛函 V（x（t）t）＝ x T Px ＋ ∑ N j＝1∫ t t－τj （t） x T j （σ） （ε—1 2 E T Ej ） xj （σ） dσ 显然 V（ x（ t）t）正定且 V（ x（ t）t）具有无穷小上 界无限大性质．V（ x（ t）t）沿系统（5）的轨线的全 导数为： V · （ x（ t）t）＝x T （ t）［ PA＋ A T P—PBK— K T B T P］ x（ t）＋2x T （ t） PDF（ t） Ex（ t）— 2x T （ t） PDbFb（ t） EbKx（ t）＋2x T （ t） P［ H＋ ΔH］ xτ＋ ∑ N j＝1 x T j （ t）（ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t）— ∑ N j＝1 （1—τ · j（ t）） x T j （ t—τj（ t））· （ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t—τj（ t）） （7） 由0≤τj （ t）≤ hτ · j （ t）≤ k＜1（ j＝12…N）可 得： V · （ x（ t）t）≤x T （ t）［ PA＋ A T P—PBK— K T B T P］ x（ t）＋2x T （ t） PDF（ t） Ex（ t）— 2x T （ t） PDb Fb（ t） Eb Kx（ t）＋ 2x T （ t） P［ H＋ΔH］ xτ＋ ∑ N j＝1 x T j （ t）（ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t）— （1—k） ∑ N j＝1 x T j （ t—τj（ t））· （ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t—τj（ t）） （8） 对式（8）各项的上界进行估计．利用引理2可 得： 2x T （ t） PDF（ t） Ex（ t）≤ε0x T （ t） PDD T Px（ t）＋ ε—1 0 x T （ t） E T Ex（ t） （9） —2x T （ t） PDb Fb（ t） Eb Kx（ t）≤ε1x T （ t）· PDb D T b Px（ t）＋ε—1 1 x T （ t） K T E T b Eb Kx（ t） （10） 利用引理1和引理2可得： 2x T （ t） PHxτ＝2x T （ t） P ∑ N i＝1 Hixτ≤ N 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 HiH T i Px（ t）＋ 1—k N ∑ N i＝1 x T τxτ＝ N 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 HiH T i Px（ t）＋（1—k） ∑ N j＝1 x T j （ t—τj（ t）） xj（ t—τj（ t）） （11） 利用引理1和引理3可得： 2x T （ t） P（ΔH） xτ＝2x T （ t） P ∑ N i＝1 Dh iFh i（ t） Eh ixτ＝ ε2 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 Dh iD T h i Px（ t）＋ε—1 2 （1—k）［ x T 1（ t—τ1（ t）） x T 2（ t—τ2（ t）） … x T N（ t—τN（ t））］· （ E T h11Eh11＋…＋ E T h N1Eh N1） ⋱ ⋱ （ E T h1NEh1N＋…＋ E T h NNEh NN） x1（ t—τ1（ t）） x2（ t—τ2（ t）） xN（ t—τN（ t）） ＝ ε2 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 Dh iD T h i Px（ t）＋ε—1 2 （1—k） ∑ N j＝1 x T j （ t—τj（ t）） E T j Ejxj（ t—τj（ t）） （12） 将（11）式与（12）式合并可得： 2x T （ t） P（ H＋ΔH） xτ＝ ε2 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 Dh iD T h i Px（ t）＋ N 1—k x T （ t） P ∑ N i＝1 HiH T i Px（ t）＋ （1—k） ∑ N j＝1 x T j （ t—τj（ t））· （ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t—τj（ t）） （13） 又 ∑ N j＝1 x T j （ t）（ε—1 2 E T j Ej＋ I） xj（ t）＝ ε—1 2 x T （ t） E T 1 E1 E T 2 E2 ⋱ E T NEN x（ t）＋ ∑ N j＝1 x T j （ t） xj（ t） （14） 将式（9）、（10）、（13）和（14）代入式（7）可得： ·828· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第7期 吴小雪等：不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 .829. V(x(t).t)x ()[PA+ATP-PBK- KT BT P+0 ET E+EPD D P+ 产空a+亭空n成 KTEE,K十o PDDT P-十I十21武E十 马2=[XET YTE XX], 户w网r产空P -011 0 0 0 0 -1 0 0 将上式整理可得： 0 0 -I 0 V(x(t).tx"(t)Sx(t). 0 0 0 -1 其中，S由式(6)给出.由于常数矩阵S0,使得V(x(t),t)≤x(t)Sx(t)≤ 式： -a‖x(t)‖2. 三-马12三220(=1,2,,N)和矩阵Y,正 EX -E0I 0 0 0 常数0，E1,2,使得 EY 0 一E1I 0 0 <0(19) XET YT E卧XX武 X 0 0 -1 0 EX 一e0l 0 0 0 LEX 0 0 0 EY 0 一E1I 0 0 <0(15) 定理证毕， X 0 0 -1 0 L EX 0 0 0 一E2 3数值仿真 其中， 考虑由两个子系统组成的大系统，其中， E=AX+XAT-BY-YT BT+E0DDT+ED DI+ -0.5 0 「-1.51 产空a所+产空n A10 -2A2 L-0.7 「11 「-0.6 则系统(1)的闭环系统(5)渐近稳定，分散状态反馈 B=L-0.1,B2=1门 增益阵为K=YX1 「-0.2 证明：将(6)式两边分别左乘和右乘P,可以 H1 「0.101 0 0.1,2=00.1 得到式(6)成立的充分必要条件 「0.21 0 「0.22 07 (A-BK)P+P(A-BK)T+ H21= 0 0.1 ，H22= 0.1’ T+P-10p-1<0 (16) 「0.2201 -0.1512 0 注意到(P-)T=P-1,所以对式(6)的以上变换是 00. ,D= 0 -0.2425 合同变换，而合同变换不改变矩阵的正定性，所以 [-0.1512 0 「0.2 01 以上推理成立， 0 -0.2425,D=00.1412 令 「0.2 0 「0.1 01 X=P-1,Y=KX, E2一0 0.1412,Dm1=L00.1414’ 则式(16)化为： [0.1 「0.141401 AX-BY+XAT-YT BT+E0DDT+ E一0 0.1414,D2L 00.1' A暖+产空H成+产空+ 「0.1 0 「0.1 07 E12一0 0.141,Dm2100.1414 OXET EX+E YT ES E Y+ 0.141401 「0.101 Eh21= 2XEX十XX0 (17) 0 0.1Dm20 0.1414 令 E=AX+XAT-BY-YT BT+DDT+DD+
V · （ x（ t）t）≤x T （ t）［ PA＋ A T P—PBK— K T B T P＋ε—1 0 E T E＋ε1PDb D T b P＋ ε—1 1 K T E T b Eb K＋ε0PDD T P＋ I＋ε—1 2 E ～ T h E ～ h＋ N 1—k P ∑ N i＝1 HiH T i P＋ ε2 1—k P ∑ N i＝1 D T h iDh i P］ x（t） 将上式整理可得： V · （ x（ t）t）≤x T （ t） Sx（ t） 其中S 由式（6）给出．由于常数矩阵 S＜0所以存 在 α＞0使得 V · （ x （ t ）t ） ≤ x T （ t ） Sx （ t ） ≤ —α‖x（ t）‖2． 由 Lyapunov 稳定性定理可知系统（1）的闭环 系统（5）是渐近稳定的．定理证毕． 定理2 如果存在正定矩阵 X＝diag ［ X1X2 …XN ］其中 Xi＞0（ i＝12…N）和矩阵 Y正 常数ε0ε1ε2使得 Ξ XE T Y T E T b X X E ～T h EX —ε0I 0 0 0 Eb Y 0 —ε1I 0 0 X 0 0 — I 0 E ～ h X 0 0 0 —ε2I ＜0（15） 其中 Ξ＝ AX＋XA T—BY—Y T B T＋ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i 则系统（1）的闭环系统（5）渐近稳定分散状态反馈 增益阵为 K＝YX —1． 证明：将（6）式两边分别左乘和右乘 P —1可以 得到式（6）成立的充分必要条件 （ A—BK） P —1＋P —1（ A—BK） T＋ T＋P —1QP —1＜0 （16） 注意到（ P —1） T ＝ P —1所以对式（6）的以上变换是 合同变换而合同变换不改变矩阵的正定性所以 以上推理成立． 令 X＝P —1Y＝ KX 则式（16）化为： AX—BY＋XA T—Y T B T＋ε0DD T＋ ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i＋ ε—1 0 XE T EX＋ε—1 1 Y T E T b Eb Y＋ ε—1 2 X E ～T h E ～ h X＋XX＜0 （17） 令 Ξ＝ AX＋XA T—BY—Y T B T＋ε0DD T＋ε1Db D T b ＋ N 1—k ∑ N i＝1 HiH T i ＋ ε2 1—k ∑ N i＝1 Dh iD T h i Ξ12＝［ XE T Y T E T b X X E ～T h ］ Ξ22＝ —ε—1 0 I 0 0 0 0 —ε—1 1 I 0 0 0 0 — I 0 0 0 0 —ε—1 2 I 由于明显地有 Ξ22＜0所以式（17）可写成下面的形 式： Ξ—Ξ12Ξ22ΞT 12＜0 （18） 由 Schur 补可知式（18）等价于 Ξ Ξ12 ΞT 12 Ξ22 ＜0即 Ξ XE T Y T E T b X X E ～T h EX —ε0I 0 0 0 Eb Y 0 —ε1I 0 0 X 0 0 — I 0 E ～ h X 0 0 0 —ε2I ＜0（19） 定理证毕． 3 数值仿真 考虑由两个子系统组成的大系统其中 A1＝ —0∙5 0 0 —2 A2＝ —1∙5 1 —0∙7 1 B1＝ 1 —0∙1 B2＝ —0∙6 1 H11＝ —0∙2 0 0 0∙1 H12＝ 0∙1 0 0 0∙1 H21＝ 0∙21 0 0 0∙1 H22＝ 0∙22 0 0 0∙1 H22＝ 0∙22 0 0 0∙1 D1＝ —0∙1512 0 0 —0∙2425 E1＝ —0∙1512 0 0 —0∙2425 D2＝ 0∙2 0 0 0∙1412 E2＝ 0∙2 0 0 0∙1412 Dh11＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Eh11＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Dh12＝ 0∙1414 0 0 0∙1 Eh12＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Dh21＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Eh21＝ 0∙1414 0 0 0∙1 Dh22＝ 0∙1 0 0 0∙1414 第7期 吴小雪等： 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 ·829·
.830 北京科技大学学报 第30卷 0.1 0 E20 0.1414 ,Eh1=0.1, 0 0.9cos 01 2 F(t)= 0.9int十6y (i,j=1,2), Fb1(t)=0.9cost+⊙，Fb2(t)=0.9sint+d, 0.9cost+ 0 F:(t)= 0 0.9sint+@ (=1,2) 500 1000 这里，(i,j-1,2),⊙，g(j-1,2)均取为取值为 图2x12随时间变化的曲线示意图 士0.1的随机数，以体现系统的不确定性 Fig.2 Diagram of varying with time 取t1(t)=2+0.05sint,(t)=1+0.05sint. 应用Matlab软件的LMI工具箱进行设计，求得： 0.3757 -0.0013 0 0 -0.0013 0.3383 0 0 4 0 0 0.58130.0703 0 0 0.07030.3749 0.47470.0524 0 07 Y= 0 0 0.64921.0071' e0=1.1580,e1=1.1606,2=1.1603. 从而由定理2给出如下控制输入： 500 1000 t w(t)=[-1.2641-0.1598]x1(t) u2(t)=[-0.8104-2.5341]x2(t) 图3x2随时间变化的曲线示意图 仿真结果如图1~4，由图可知，按照本文所得到的 Fig.3 Diagram of xa varying with time 控制器可以保证系统(1)的闭环系统是鲁棒渐近稳 定的， 2 0 500 1000 500 1000 图4x22随时间变化的曲线示意图 Fig.4 Diagram of x22 varying with time 图1x山随时间变化的曲线示意图 Fig.1 Diagram of xu varying with time 价于一组LMI线性矩阵不等式解的存在，给出分散 反馈控制律的设计方法；最后通过数值仿真证明了 4结束语 此种方法的有效性· 本文讨论了一类关联项中含有时变时滞的不确 参考文献 定组合系统的分散鲁棒镇定问题，首先采用Riccati [1]Wu H.Mizukamik linear and nonlinear stabilizing continuous con 矩阵不等式方法给出该系统可分散反馈镇定的充分 trollers of uncertain dynamical systems including state delay 条件；然后利用Schur补引理，得出该充分条件等 IEEE Trans Autom Control,1996.41(1):116
Eh22＝ 0∙1 0 0 0∙1414 Eb1＝0∙1 Eb2＝0∙1414Db1＝ 0∙1 0 Db2＝ 0 —0∙1414 Fh ij（t）＝ 0∙9cost＋δij 0 0 0∙9sint＋δij （ij＝12） Fb1（ t）＝0∙9cost＋δjFb2（ t）＝0∙9sin t＋δj Fi（ t）＝ 0∙9cost＋ωi 0 0 0∙9sin t＋ωi （ i＝12）． 这里δij（ ij＝12）δjωj （ j＝12）均取为取值为 ±0∙1的随机数以体现系统的不确定性． 取 τ1（ t）＝2＋0∙05sin tτ2（ t）＝1＋0∙05sin t． 应用 Matlab 软件的 LMI 工具箱进行设计求得： X＝ 0∙3757 —0∙0013 0 0 —0∙0013 0∙3383 0 0 0 0 0∙5813 0∙0703 0 0 0∙0703 0∙3749 Y＝ 0∙4747 0∙0524 0 0 0 0 0∙6492 1∙0071 ε0＝1∙1580ε1＝1∙1606ε2＝1∙1603． 从而由定理2给出如下控制输入： u1（ t）＝［—1∙2641 —0∙1598］ x1（ t） u2（ t）＝［—0∙8104 —2∙5341］ x2（ t） 仿真结果如图1～4．由图可知按照本文所得到的 控制器可以保证系统（1）的闭环系统是鲁棒渐近稳 定的． 图1 x11随时间变化的曲线示意图 Fig．1 Diagram of x11varying with time 4 结束语 本文讨论了一类关联项中含有时变时滞的不确 定组合系统的分散鲁棒镇定问题．首先采用 Riccati 矩阵不等式方法给出该系统可分散反馈镇定的充分 条件；然后利用Schur补引理得出该充分条件等 图2 x12随时间变化的曲线示意图 Fig．2 Diagram of x12varying with time 图3 x21随时间变化的曲线示意图 Fig．3 Diagram of x21varying with time 图4 x22随时间变化的曲线示意图 Fig．4 Diagram of x22varying with time 价于一组 LMI 线性矩阵不等式解的存在给出分散 反馈控制律的设计方法；最后通过数值仿真证明了 此种方法的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Wu H．Mizukamik linear and nonlinear stabilizing continuous controllers of uncertain dynamical systems including state delay． IEEE T rans A utom Control199641（1）：116 ·830· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第7期 吴小雪等：不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 .831, [2]Wu H S.Robust output feedback controllers for dynamical sys- time-delay based on LMI approach.Acta Autom Sin.2002.28 tems including delayed perturbations.Int I Syst Sci.1999.30 (1):155 (2):211 (桂卫华，谢永芳，吴敏，等，基于LMI的不确定性关联时滞大 [3]Cao DQ.Stabilizability conditions for uncertain linear systems 系统的分散鲁棒控制.自动化学报，2002,28(1)：155) with time varying delay.Control Theory Appl.1997.14(1): [9]Xie Y F.Deng Y N.Gui W H.Decentralized robust stabilization 85 for linear uncertain interconnected large-scale systems with time (曹登庆，不确定变时滞线性系统的镇定条件.控制理论与应 delay.J Wuhan Univ Technol,2006.28(2):104 用，1997,14()：85) (谢永芳，邓燕妮，不确定性关联时滞大系统的分散鲁棒镇定 [4]Yu L,Chu J.Robust stabilization of uncertain systems with de- 武汉理工大学学报，2006,28(2)：104) layed input.Control Theory Appl.1998.15(2):277 [10]Hu Z.Decentralized stabilization of large scale interconnected (俞立，褚键，具有滞后输入的不确定系统的鲁棒镇定，控制 systems with delays.IEEE Trans Auom Control,1994.39 理论与应用，1998,15(2)：277) (1):180 [5]Gu Z Q.Liu H P,Li X L.et al.Robust stabilization for a class [11]XuZ D,Zhang S Y.Robust decentralized control for uncertain of uncertain switched linear systems.J Univ Sci Technol Bei- interconnected systems with time varying delay.Inf Control, jing,2007,29(12):1273 2001,30(1):41 (顾则全，刘贺平，李晓理，等。一类线性不确定切换系统的鲁 (徐兆棣，张嗣瀛，不确定时变时滞组合系统的鲁棒分散控 棒镇定.北京科技大学学报，2007,29(12)：1273) 制.信息与控制，2001,30(1)：41) [6]Gui W H.Xie Y F.Chen N.et al.Decentralized robust stabiliza- [12]Wang K.Gao L Q.Liu J.et al.Decentralized robust stabiliza- tion for linear uncertain interconnected systems based on linear tion for uncertain delay composite systems.Control Decis, matrix inequality.Control Decis.2001.16(3):330 2006,21(3):356 (桂卫华，谢永芳，陈宁，等.基于线性矩阵不等式的不确定关 (王珂，高立群，刘佳，等.不确定时滞组合系统的分散鲁棒镇 联系统的分散鲁棒镇定.控制与决策，2001,16(3)：330) 定.控制与决策，2006,21(3)：356) [7]Shi GG,Liao F C.Robust Hoo control for uncertain systems [13]Yu L Decentralized stabilization of a class of large"scale linear with time varying delay JUniv Sci Technol Beijing.2006.28 discrete time-delay systems.Control Theory Appl.2000.17 (9):875 (1):125 (史桂刚，廖福成，时变时滞不确定系统的鲁棒控制，北京科 (俞立。一类线性离散时滞大系统的分散镇定。控制理论与 技大学学报，2006,28(9)：875) 应用，2000,17(1)：125) [8]Gui W H.Xie Y F.Wu M,et al.Interconnected systems with
［2］ Wu H S．Robust output feedback controllers for dynamical systems including delayed perturbations． Int J Syst Sci199930 （2）：211 ［3］ Cao D Q．Stabilizability conditions for uncertain linear systems with time-varying delay．Control Theory Appl199714（1）： 85 （曹登庆．不确定变时滞线性系统的镇定条件．控制理论与应 用199714（1）：85） ［4］ Yu LChu J．Robust stabilization of uncertain systems with delayed input．Control Theory Appl199815（2）：277 （俞立褚键．具有滞后输入的不确定系统的鲁棒镇定．控制 理论与应用199815（2）：277） ［5］ Gu Z QLiu H PLi X Let al．Robust stabilization for a class of uncertain switched linear systems．J Univ Sci Technol Beijing200729（12）：1273 （顾则全刘贺平李晓理等．一类线性不确定切换系统的鲁 棒镇定．北京科技大学学报200729（12）：1273） ［6］ Gui W HXie Y FChen Net al．Decentralized robust stabilization for linear uncertain interconnected systems based on linear matrix inequality．Control Decis200116（3）：330 （桂卫华谢永芳陈宁等．基于线性矩阵不等式的不确定关 联系统的分散鲁棒镇定．控制与决策200116（3）：330） ［7］ Shi G GLiao F C．Robust H∞ control for uncertain systems with time-varying delay．J Univ Sci Technol Beijing200628 （9）：875 （史桂刚廖福成．时变时滞不确定系统的鲁棒控制．北京科 技大学学报200628（9）：875） ［8］ Gui W HXie Y FWu Met al．Interconnected systems with time-delay based on LMI approach．Acta A utom Sin200228 （1）：155 （桂卫华谢永芳吴敏等．基于 LMI 的不确定性关联时滞大 系统的分散鲁棒控制．自动化学报200228（1）：155） ［9］ Xie Y FDeng Y NGui W H．Decentralized robust stabilization for linear uncertain interconnected large-scale systems with time delay．J W uhan Univ Technol200628（2）：104 （谢永芳邓燕妮．不确定性关联时滞大系统的分散鲁棒镇定． 武汉理工大学学报200628（2）：104） ［10］ Hu Z．Decentralized stabilization of large scale interconnected systems with delays． IEEE T rans A utom Control199439 （1）：180 ［11］ Xu Z DZhang S Y．Robust decentralized control for uncertain interconnected systems with time-varying delay．Inf Control 200130（1）：41 （徐兆棣张嗣瀛．不确定时变时滞组合系统的鲁棒分散控 制．信息与控制200130（1）：41） ［12］ Wang KGao L QLiu Jet al．Decentralized robust stabilization for uncertain delay composite systems． Control Decis 200621（3）：356 （王珂高立群刘佳等．不确定时滞组合系统的分散鲁棒镇 定．控制与决策200621（3）：356） ［13］ Yu L．Decentralized stabilization of a class of large-scale linear discrete time-delay systems．Control Theory Appl200017 （1）：125 （俞立．一类线性离散时滞大系统的分散镇定．控制理论与 应用200017（1）：125） 第7期 吴小雪等： 不确定时变时滞组合系统的分散鲁棒镇定 ·831·
