解得 b=5,c=4.从而所求的线性函数为 g(x1m+x22+x33)=-r1+5x2+4x3 4.设V是数域K上的n维线性空间,m hn是它的一个基,a1,…,an是K中任意n个数证 明:存在v上唯一的线性函数f,使 证明:(存在性)设a=x1m+x2n2+…+xnm∈V.令 f: V a→f(a)=∑a;r 容易证明∫是V上线性函数,且满足所需条件 (唯一性)设g为V的线性函数,使 g(ni) 则对任意的a=x1m+x2m+…+xnmn∈V有 g(a)=∑9m)=∑r=f(a) 这就证明了唯一性. 5.设V=K3,a=(x1,x2,x3),B=(y,y,y),判断下列二元函数∫是否为V上的双线性函数 (1)f(a,B)=2r1+x1y-3r2+x2y (2)f(a,B)=(x1-y2)2+x21 ∈K (4)f(a,B)=(2x1+x2-3r3)(-v+y) 解:(1)是 (3)当c≠0时,否;当c=0时,是 (4)是 6.设∫为n维线性空间V上的双线性函数,令 W1={a∈v|f(a,B)=0.,vB∈V}, W2={a∈vlf(,a)=0,v∈V} 证明:W1与W2都是V的线性子空间,且dimW1=dimW2 证明:(1)由于对任意的∈V有f(0,0)=0,因此0∈W1,W1非空.又对任意的a1,a2∈W k∈K以及任意的β∈V有 f(a1+a2,B)=f(a1,B)+f(a2,B)=0 f(kan k 因此 ka1∈W 所以W1是V的线性子空间同理可证V2也是V的线性子空间❊❉ a = −1, b = 5, c = 4. ❋●✚✻ ✢✣✤✘✙❍ g(x1η1 + x2η2 + x3η3) = −x1 + 5x2 + 4x3. 4. ✍ V ✎✙✷ K ✒✢ n ✸✣✤✥✑, η1, · · · , ηn ✎✹✢★✩✺, a1, · · · , an ✎ K ❀✳✴ n ✩✙. ✦ ✧: ■❏ V ✒❑★✢✣✤✘✙ f, ❅ f(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✪✫: (■❏✤) ✍ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V . ✽ f : V −→ K α 7−→ f(α) = Pn i=1 aixi ▲▼✦✧f ✎ V ✒✣✤✘✙, ✱◆❖✚P◗❘. (❑★✤) ✍ g ❍ V ✢✣✤✘✙, ❅ g(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✾ ✲✳✴✢ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V ✵ g(α) = Xn i=1 xig(ηi) = Xn i=1 xiai = f(α). ❙❚✦✧❯ ❑★✤. 5. ✍ V = K3 , α = (x1, x2, x3), β = (y1, y2, y3), ❱❲❳❨❩❬✘✙ f ✎❭❍ V ✒✢❪✣✤✘✙: (1) f(α, β) = 2x1y1 + x1y2 − 3x2y1 + x2y2; (2) f(α, β) = (x1 − y2) 2 + x2y1; (3) f(α, β) = c, c ∈ K; (4) f(α, β) = (2x1 + x2 − 3x3)(y1 − y2 + y3). ✼ : (1) ✎. (2) ❭. (3) ❫ c 6= 0 ❴, ❭; ❫ c = 0 ❴, ✎. (4) ✎. 6. ✍ f ❍ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ✦✧: W1 ❵ W2 ❛✎ V ✢✣✤❜✥✑, ✱ dim W1 = dim W2. ✪✫: (1) ❆❝ ✲✳✴✢ β ∈ V ✵ f(0, β) = 0, ❞❡ 0 ∈ W1, W1 ❢✥. ❣✲✳✴✢ α1, α2 ∈ W1, k ∈ K ✶❁✳✴✢ β ∈ V ✵ f(α1 + α2, β) = f(α1, β) + f(α2, β) = 0, f(kα1, β) = kf(α1, β) = 0, ❞❡ α1 + α2 ∈ W1, kα1 ∈ W1. ✚✶ W1 ✎ V ✢✣✤❜✥✑. ❂❤✐✦ W2 ❥✎ V ✢✣✤❜✥✑. · 2 ·