即A有特征值1，与4<1矛盾。 注意到， 空u-利-空4--交-立” k=0 k=0 k=0 =(4°+∑A+)-∑A+ 0 =1+∑A+1-∑A+1=1, 同样 I-A(∑A)=1, k=0 因此(I-A)-1=∑。A。由于4<1，有 I1-A-‖≤∑4≤∑A=1- 1 k=0 引理2得证。 回到原定理的证明，我们有 A6x +6Ax +6A6x =6b. 6x=(A+6A)-(-6Ax+b)=A-(I+A-16A)-1(-6Ax+b) ll6zll s ll-6Az+661l IlA-'ll II(I+A-16A)-'ll (引理2)≤川-6Ar+4-川1-A-6A ≤05A+600A-‖1-A-6A =6AA1-A-6A A-1‖1-A-6A即 A 有特征值 1, 与 ||A|| < 1 矛盾。 注意到， ( ∑∞ k=0 A k )(I − A) = ∑∞ k=0 (A k − A k+1) = ∑∞ k=0 A k − ∑∞ k=0 A k+1 = (A 0 + ∑∞ k=0 A k+1) − ∑∞ k=0 A k+1 = I + ∑∞ k=0 A k+1 − ∑∞ k=0 A k+1 = I, 同样 (I − A)(∑∞ k=0 A k ) = I, 因此 (I − A) −1 = ∑∞ k=0 Ak。由于 ||A|| < 1，有 ||(I − A) −1 || ≤ ∑∞ k=0 ||A k || ≤ ∑∞ k=0 ||A||k = 1 1 − ||A||. 引理 2 得证。 回到原定理的证明，我们有 Aδx + δAx + δAδx = δb, δx = (A + δA) −1 (−δAx + δb) = A −1 (I + A −1 δA) −1 (−δAx + δb), ||δx|| ≤ || − δAx + δb|| ||A −1 || ||(I + A −1 δA) −1 || (引理 2) ≤ || − δAx + δb|| ||A −1 || 1 1 − ||A−1δA|| ≤ (||δAx|| + ||δb||) ||A −1 || 1 1 − ||A−1δA|| = ||δAx|| ||A −1 || 1 1 − ||A−1δA||+ ||δb|| ||A −1 || 1 1 − ||A−1δA||, 3