证明.若Xm)=(rm）,m）,.,m收敛，设imm→Xm)=X=(x1,2,,n), 由范数等价性，不妨设Xm)在欧式范数下收敛，则i, km-z≤（∑km)-,P=lxm-Xb→0， j=1 因此i,1im4ox存在。 若，imo存在，设imo因=，X=(1,2,,工n,则 Xm)-x2=(zm)-x)3→0， 因此Xm)=(rm,xm,,xm)收敛。 Page12-13:(0.9)式，(0.10)式，我们只需证(0.10)式，也即定理0.3 注：(010)式有误，应改为如下： 定理3.设A∈Rmn,b∈R”,Ax=b,A非奇异，6A和6b是A和b的扰 动， IIA-'I6AII<1, 则 115zll s -Cond(A) ✉(+) Cond(A) 证明 引理2.设A∈Rm*m,且川A‖<1，则I-A非奇异， I-A--∑A,-A-≤-A 引理2的证明：若【一A奇异，则它有特征值0，设对应特征值0的一个 特征向量为x,则 (【-A)x=0,Ax=x 2 证明. 若 X(m) = (x (m) 1 , x (m) 2 , . . . , x (m) n ) 收敛，设 limm→∞ X(m) = X = (x1, x2, . . . , xn), 由范数等价性，不妨设 X(m) 在欧式范数下收敛，则 ∀i， |x (m) i − xi | ≤ ( ∑n j=1 |x (m) j − xj | 2 ) 1 2 = ||X (m) − X||2 → 0, 因此 ∀i, limk→∞ x (k) i 存在。 若 ∀i, limk→∞ x (k) i 存在，设 limk→∞ x (k) i = xi，X = (x1, x2, . . . , xn)，则 ||X (m) − X||2 = (∑n i=1 |x (m) i − xi | 2 ) 1 2 → 0, 因此 X(m) = (x (m) 1 , x (m) 2 , . . . , x (m) n ) 收敛。 Page 12-13:(0.9) 式，(0.10) 式，我们只需证 (0.10) 式，也即定理 0.3 注：(0.10) 式有误，应改为如下： 定理 3. 设 A ∈ R n∗n , b ∈ R n , Ax = b, A 非奇异，δA 和 δb 是 A 和 b 的扰 动， ||A −1 ||||δA|| < 1, 则 ||δx|| ||x|| ≤ Cond(A) 1 − Cond(A) ||δA|| ||A|| ( ||δA|| ||A|| + ||δb|| ||b|| ) . 证明. 引理 2. 设 A ∈ R n∗n , 且 ||A|| < 1, 则 I − A 非奇异， (I − A) −1 = ∑∞ k=0 A k , ||(I − A) −1 || ≤ 1 1 − ||A||. 引理 2 的证明：若 I − A 奇异，则它有特征值 0，设对应特征值 0 的一个 特征向量为 x，则 (I − A)x = 0, Ax = x, 2