作业解答五 作业11函数f(x)在区间(a,b)有连续的导函数,且limf(x)与limf(x) x→a+ x→b- 均存在有限。试证: (1)f(x)在(a,b)上一致连续; (2)limf(x)与limf(x)均存在。 x→a+ x 证:(1)由假设知f(x)在(a,b)上连续,定义 f(x),x∈(a,b) F(x)= lim f'(x),=a lim(x),=b x→b 从而F(x)在[a,b]上连续,因此F(x)在[a,b]上一致连续,于是F(x)在[ab]上 有界,即存在C>0,使|F(x)<C 从而f(x)c,x∈(a,b) x1,x2∈(a,b),则 f(x1)-f(x2)=f(5)(x1-x2) 从而f(x)在(a,b)上满足利普希茨条件,所以f(x)在(a,b)上一致连续。 (2)因f(x)在(a,b)上一致连续,故vE>0,30,当x1,x2∈(a,a+)时, f(x1)-f(x2)<,由函数极限存在的柯西准则知limf(x).同理,limf(x)存 x→a+ x→b- 在。 作业12求使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数a和最小 的数:(1+-)n+a≤e≤(1+-)n+ n n作业解答五 作业 11 函数 f (x) 在区间( , a b)有连续的导函数，且 lim ( ) x a f x → + ′ 与 lim ( ) x b f x → − ′ 均存在有限。试证： (1) f (x) 在( , a b)上一致连续； (2) lim ( ) x a f x → + 与 lim ( ) x b f x → − 均存在。 证：(1) 由假设知 f ′(x)在( , a b)上连续，定义 ( ), ( , ) ( ) lim ( ), lim ( ), x a x b f x x a b F x f x x a f x x b → + → − ⎧ ⎪ ′ ∈ ⎪ = ⎨ ′ = ⎪ ⎪ ′ = ⎩ 从而 在[ , 上连续，因此 在[ , 上一致连续，于是 在[ , 上 有界，即存在 ，使 F x( ) a b] F x( ) a b] F x( ) a b] C > 0 F x( ) < C 。 从而 f ′( ) x < C ， x∈( , a b)。 1 2 ∀ ∈ x , ( x a,b)，则 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) 2 f x f − = x f ′ ξ x − x 1 2 1 ( ) ( ) 2 f x f − ≤ x C x − x 。 从而 f (x) 在( , a b)上满足利普希茨条件，所以 f (x) 在( , a b)上一致连续。 (2) 因 f (x) 在( , a b)上一致连续，故∀ε > 0, ∃δ > 0 ，当 1 2 x x, ( ∈ a, a +δ ) 时， 1 2 f x( ) − f x( ) < ε ，由函数极限存在的柯西准则知 lim ( ) x a f x → + 。同理， lim ( ) x b f x → − 存 在。 作业 12 求使得下列不等式对所有的自然数 n都成立的最大的数α 和最小 的数β ： 1 1 (1 ) (1 ) n n e n n + + α β + ≤ ≤ + 。 1