这个例子又一次说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平 均值 注:本例子说明了数学期望E(X)是随机变量X取值的集中位置,反映了X的平均值 例8(E07)设X~b(n,p),求E(X),D(X 解X表示n重伯努利试验中“成功”的次数.若设 X 几1如第次试验成功 10如第次试验失败 则X=∑x是n次试验中“成功”的次数,且x服从0-1分布 E(X1)=P{X1=1}=P,E(X2)=P 故D(X)=E(x2)-E(x)2=p-p2=p(1-p)i= 由于x1,X2…,Xn相互独立,于是 E(X)=∑E(X)=m,D(x)=∑ 例9(E08)设X~N(,o2),求E(X),D(X) 解先求标准正态变量2X-的数学期望和方差因为Z的概率密度为 t2/2 ,(-∞<1<+∞) 于是A D(Z)=E(z2) Id(e) 27 其中利用泊松积分e-ax=√丌, 因X=4+z,即得 E(X)=E(+Oz)=2 D(X)=D(+aZ)=Eu+oz-E(+Z)2=E(o22)=a2E(2)=a2D(Z)=a2 这就是说,正态分布的概率密度中的两个参数和a分别就是该分布的数学期望和均方 差,因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定这个例子又一次说明了数学期望 E(X ) 是随机变量 X 取值的集中位置, 反映了 X 的平 均值. 注：本例子说明了数学期望 E(X) 是随机变量 X 取值的集中位置, 反映了 X 的平均值. 例 8 (E07) 设 X ~ b(n, p) , 求 E(X), D(X). 解 X 表示 n 重伯努利试验中 “成功” 的次数. 若设 i n i i Xi 1,2, , 0, 1, =     = 如第 次试验失败 如第 次试验成功 则 = = n i X Xi 1 是 n 次试验中 “成功” 的次数, 且 Xi 服从 0 −1 分布. E(X ) P{X 1} p, i = i = = ( ) , 2 E Xi = p 故 2 2 ( ) ( ) [ ( )] D Xi = E Xi − E Xi 2 = p − p = p(1− p) i =1,2,  ,n 由于 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 于是 ( ) ( ) , 1 E X E X np n i =  i = = = = n i D X D Xi 1 ( ) ( ) = np(1− p). 例 9 (E08) 设 ~ ( , ), 2 X N   求 E(X), D(X). 解 先求标准正态变量  −  = X Z 的数学期望和方差. 因为 Z 的概率密度为 ,( ) 2 1 ( ) / 2 2 = −   + − t e t t   于是  + − − E Z = te dt t / 2 2 2 1 ( )  0, 2 1 / 2 2 = − = + − −t e  ( ) ( ) 2 D Z = E Z  + − − = t e dt 2 t / 2 2 2 1   + − − = − ( ) 2 1 / 2 2 t td e   + − − + − − = − e + te dt t t / 2 t / 2 2 2 2 1 2  1, 2 2 1 2 ( / 2) =        =  + − − t e d t  其中利用泊松积分 , 2 =   + − − e dx x 因 X =  +Z, 即得 E(X) = E( +Z) = , D(X) = D( +Z) 2 = E[ +Z − E( +Z)] ( ) 2 2 = E  Z ( ) 2 2 = E Z ( ) 2 = D Z . 2 =  这就是说, 正态分布的概率密度中的两个参数  和  分别就是该分布的数学期望和均方 差, 因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定