VoL23 No.5 孙仁济等：连铸结晶器内传热状态奇异摄动分析及其数值解法 425· 原来的二阶偏微分方程变为一阶常微分方 根据匹配原理可知 程，方程性质产生了“奇异性”的变化，这是一个 T。=T,=1 (20) 奇异摄动问题)应引进边界层的概念来解决 (2)由内解的展开形式，可知外解的展开形 此问题即在边界层内，票皮部很大通过简 ∂2T 式应为 单分析可知在x=1及=1处均存在有边界层， T=T+√pTtμT+… (21) 下面运用奇异摄动方法中的边界层分析法来解 可证： T1=72=T=…=0 (22) 决此问题. 因此外解 T=T=1 (23) 内解展开式第二项T,所满足的微分方程及 2 奇异摄动边界层分析法 初始条件及边界条件分别为（注意到T。=1) (1)首先考虑外解，对外解作渐近展开，令 远-吃 o1 on (24) T=T+Fu)T+… (10) Tib-o=1 (25) 其中，F)<1,具体形式待定.将式(10)代入方程 (6),由于F四)<1，则首项T满足的微分方程及 g-abnii1 (26) 初始条件分别为： 可用积分变换求得其解的具体形式为 +a1-71a1-Ty器-0 abivie t (27) (11) i2 Toli-o=1 利用分部积分法经过仔细考虑也可将T,的 其解为T=1,这时边界条件 波w=0,韶 形式改写为： -=0自动满足.注意对于外解并不要求满足边 -oa 界条件（⑧），因为对于外解，≠1，且+1.对于内 解，鉴于本问题对于及的对称性，先考虑在 [2a.Viutb:/ert(w (28) =1处的边界层.对变量引进变换 其中erf(u)为余误差函数， 7=2 (12) ent侧=1-)-子erds2网y 并取T,n,=,,则微分方程、初始条件及 而 u-2 (30) 边界条件分别转化为： 以上对位于=1（或y=)处的边界层进行了 a-加*a-9票-a9腰 分析及计算，类似的程序对位于=1（或x=w)处 on 的边界层也是适用的.若以5，=T,表示 (13) 该边界层温度函数的内变量并设它有渐近展开 形式： Th-o-1 (14) T=T+at+… (31) [a-b/D) (15) 经过类似的分析可得： 同样，并不要求内解满足另外3个边界条 i。=1 (32) 件.对于内解作渐近展开，即令 金-ha6et (33) πJ。t-r T=元ti+… (16) 或 7--aivit brynny 2e 代人原方程，因为√<1，则首项T所满足 2J√π 的微分方程、初始条件及边界条件分别为： [2a.Vto.+erE(v) (34) +al-il+a1-7腰- 其中， v=2 (35) 而是x在边界层处的内变量： (1+a ∂r2 (17) > μ (36) 7-o-1 (18) (3)从以上的分析及计算，并运用渐进展开 01 (19) 的匹配原理可得原初边值问题的一致有效渐近 解的形式：V b2L 3 N .o 5 孙 仁济 等 :连铸结 晶器 内传热 状态 奇异摄 动 分析及 其数 值解 法 . 24 5 . 原来 的二阶偏微 分方程变为一阶常微分 方 程 , 方程性质产生了 “ 奇异性 ” 的变化 , 这是一个 奇异摄动 问题 氏 ” . 应 引进边界层 的概念来解 决 .u , ~ 二 , 一` , 。 二 沙了一 a于~ 一 、二 ~ ~ 几 `月 毯 “ ” 位坦开坛 网 , 百尹联万恨人 · 遇胜 间 单分析 可知在又= 1及夕二 1 处均存 在有边 界层 , 下面运用奇异摄 动方法 中的边界层分析法来解 决此 问题 . 、少声,. 户 `, 4哎曰`U 吸矛. 2 ` . 了.、 甩1 ō 目 一 ~不 孤 ,口 z厂一 , 口凡,` 犷:a l 一二 卜= ~ 下aT, 、 嘛 、 下此 2 奇异摄动边界层 分析法 ( l) 首先考 虑外解 , 对外解作渐 近展开 , 令 了二 九钥切)无十 … ( 1 0 ) 其 中 , 月户) 《 1 , 具体形式 待定 . 将式 l( 0) 代人方程 ( 6 ) , 由于卢专 才 ) 《 1 , 则首 项瓦满足的微分方程及 初 始条件分别 为 : 「 r 二 , . 二 、 , r 二 , . 二 、 , a 砚 l [ l切 , ( l 一几 ) ] [ 1 + 山( l 一兀 )〕 . 气警= 0 l兀 l 、 。 = l 一 一 、 , _ 二 . 、 二 ~ ~ 。 。 , ` 刁于 , 。 a了 . 其 解为几一 ` , 这时边界条件 茜卜 。 一 ” , 茜! , 。 = 0 自动满足 . 注 意对于外解并不 要求满 足边 界条件 (8 ) , 因为对 于外解 沙袭 1 , 且又袭 1 . 对 于 内 解 , 鉴于本问题对 于牙及夕的对称性 , 先考 虑在 夕= 1处 的边界层 . 又妇变量引进 变换 根据匹 配原理 14 可知 0T = 0T = 1 ( 2 0 ) (2 ) 由内解的展开形式 , 可知外解 的展开形 式应 为 了= 瓦+ 而艺切元+ 二 (2 l) 可证 : 云= 又= 乙= … = 0 (2 2) 因此外解 几 = 0T = 1 ( 23 ) 内解展 开式第二项 lT 所满足的微分方程及 初始 条件及边界 条件 分别为 ( 注意到瓦二 l) 可用积分变换求 得其解的具体形式 为 、 一古f 旦潦终 一 ha `27) 利用分部积分法经过仔 细考虑也可将 不的 形式改写 为 : 二 f 二 . 疾 、厢动 2 , ’ 一沙v 什 es二厂 J不 吧 一 十 `、产夕., 、J 、. 1 R甘90 ù, `, ,J `、了.、了了. } 2。 、 + 。 2 减 ` 引1 · “ · , , 一 韶 其 中 e成 ( u) 为余误差 函数 , e 戊( u ) = l 一 e 试u ) , e试 u ) 而 u 一 命 一 去价 一 场 并取 冷 ,n 刁= 爪充另 D , 则微 分方程 、 边界条 件分 别转化 为 : ( 12 ) 初 始条件及 `夕、. 、 ., 资、产`. , 二`, ō 丹内Jj J f 了 j 、. J 才、了、. 〔1+a : ( , 一 。〕〔卜· 2 (卜。〕粤 一 (卜一嵘 - 、 }祭!需} ’ ] , [ (卜伪嚼一喇 九 . 。 一 1 ( 1 3 ) ( 14 ) 以上对位于夕= l( 蜘 J= 乃处 的边界层进行 了 分析及计算 , 类似的程序对位 于又= 1( 或x = w) 处 的边界层也是适用的 . 若 以六勿乃二 殊J 乃表示 该边界层温度函 数的 内变量并设它有渐近展开 形式 : 争 一 免 + 办艺 + 二 ` 森 , a T . 广 , , 二 、 L` 十a , t ` 一 ’ ) J币万l ” 二。 一 v 声L伪一 D , V ` ) 经过类 似的分析可 得 : 同样 , 并 不要 求 内解满 足 另外 3 件 . 对于 内解作渐近展 开 , 即令 ( 1 5 ) 个边界条 子 一 +70 而卜 … ( 1 6 ) 代人原 方程 , 因为而 < < 1 , 则 首项 大所满足 的微分 方程 、 初始条件及边界 条件分别 为 : [ l + a . ( l 一 0T )]〔l + a Z ( l 一 0T7)] ) ]粤 - 一嚼T } 2二 、 。 】 硕 “ 引1 ` v( , 其 电 V一 命 而亡是牙在边界层处 的内变量 : ( 3 4 ) ( 3 5 ) ` 一 箫 ( 3 6 ) (3 )从 以 上的分析及计算 , 并运用渐进展 开 的匹 配原理 可得原初边值 问题的一致有效渐近 解 的形式 : 、 ., 尹、 , 户、了. , 7 . 0八工C, `.几. 了、了. 曰几且. 刹斋 ~ a30T ~瑞 )1 0