第五章向量分析 d x 因而 F·dS 例3:计算=x(y-)入在+(x-y)d入d 其中S为:x2+y2=1(0≤z≤2)外侧 解1:由于曲面S在xOy平面上的投影为一曲线,所以 (x-y)dx a dy=0 为了计算另一个积分,将曲面S分成两部分 S:x=1-y(0≤z≤2,S:x=-√1-y(0≤z≤2) 在S1和S2上,分别有 dAc=dc;d∧d=-d= 又, S在yz平面上的投影为矩形 D-1≤y≤1;0≤z≤2 所以 x(-)dAh=(+x(y-)入在 Ss d∫-y(y-2)-「∫ 2 d= 解2:化成第一类曲面积分: 因F=x(y-2)+(x-y)j 在S上:而o=xi+yj F而0=x2( ∫F°d.=』F币4S=x(y-S 取柱面的曲参数方程y=SmO,(0≤6≤2x,0≤=≤2) 二=二 则dS=d 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 = ( ) . 4 1 (1 ) 1 0 2 2 2 1 0 + + − − =   − dx x y x y dy x 因而 . 4 1   = S F dS   例 3:计算 I x( y z)dy dz (x y)dx dy. S = −  + −   其中 S 为: 2 2 x + y = 1(0  z  2). 外侧. 解 1: 由于曲面 S 在 xoy 平面上的投影为一曲线,所以 ( − )  = 0.  S x y dx dy 为了计算另一个积分, 将曲面 S 分成两部分: 1 2 2 2 S : x = 1−y (0  z  2);S : x = − 1−y (0  z  2). 在 S1 和 S2 上, 分别有 dydz = d yz ;dydz = −d yz . 又, S 在 yoz 平面上的投影为矩形: D:−1 y  1;0  z  2. 所以          = − − = − = − − − − − − −  = + −  − − − 2 0 1 1 2 2 0 2 0 1 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 2 . 1 ( ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 dz y y z dy  dz y y z dy dz y y z dy x y z dy dz S S x y z dy dz S 解 2: 化成第一类曲面积分： 因 F x y z i x y j    = ( − ) + ( − ) 在 S 上: n x i y j    0 = + ( ) 2 0 F n = x y − z   F dS F n dS x (y z)dS S S S     =  = − 2 0 .     取柱面的曲 参数方程      = = = z z y Sin x Cos   , (0   2,0 z  2) 则 dS = ddz