第五章向量分析 第五章向量分析 第十九讲第二型空间曲面积分 Gauss公式 5-4-1第二型曲面积分 5-4-2 Gauss公式 课后作业 课后作业: 阅读:第五章第四节:第二型曲面积分pp.165-172 预习:第五章第五节: Gauss公式和 Stokes公式pp.173-181 作业:习题4:pp172-173:1,(2),(3),(4,(6),(8,(10),(12) 习题5:pp.181-182:1,(1),(3),(5),(7);2;3(3) 5-4第二型曲面积分、 Gauss公式 本节专门讨论空间向量场 F(x,y,=)=X(x,y, =)i+Y(x,y, x)J+Z(x, y, =)k 5-4-1第二型曲面积分 (1)曲面的定向、面微分向量 (一)曲面的定向 光滑曲面:曲面S上有连续非零的法向量 逐片光滑曲面:由若干光滑曲面连接而成的曲面 双侧曲面:在光滑曲面上,任意一点M(x0=)的法向量向量, 例如n(x。3二。).如果该点在曲面上任意移动,当它回到原来点 时,法线方向总是与n(x03V=)重合,这样的曲面称为双侧曲面 本章只研究双侧曲面.常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等 都是双侧曲面 曲面的方向:设S是一个光滑的双侧曲面,在每个点有两个单位 法向量n(x,y,2),-n(x,y,).分别指向曲面两侧,今指定指向一 侧的法向量为正向,则称S为定向曲面( oriented surface A)若曲面S由方程 F(x,y,=)=0 给出.则在曲面上任意一点M(x,y,=),单位法向量是 n=t VF(x, y, = I VF(,, =l 例如:球面Sx2+y+z2=a2,在M(x,y,z) 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 第十九讲 第二型空间曲面积分 Gauss 公式 5-4-1 第二型曲面积分 5-4-2 Gauss 公式 课后作业： 课后作业： 阅读：第五章 第四节: 第二型曲面积分 pp. 165---172 预习：第五章 第五节: Gauss 公式和 Stokes 公式 pp. 173---181 作业: 习题 4: pp.172---173 : 1, (2), (3), (4), (6), (8), (10), (12). 习题 5: pp.181---182: 1,(1), (3), (5), (7) ; 2; 3,(3). 5-4 第二型曲面积分、Gauss 公式 本节专门讨论空间向量场: F x y z X x y z i Y x y z j Z(x y z)k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + , , 5-4-1 第二型曲面积分 (1) 曲面的定向、面微分向量 (一) 曲面的定向 ⚫ 光滑曲面: 曲面 S 上有连续非零的法向量; 逐片光滑曲面: 由若干光滑曲面连接而成的曲面。 ⚫ 双侧曲面：在光滑曲面上，任意一点 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的法向量向量, 例如 n(x ,y ,z ) 0 0 0 . 如果该点在曲面上任意移动, 当它回到原来点 时,法线方向总是与 n(x ,y ,z ) 0 0 0 重合, 这样的曲面称为双侧曲面. 本章只研究双侧曲面. 常见的一些曲面,例如平面,球面,柱面等 都是双侧曲面. ⚫ 曲面的方向： 设 S 是一个光滑的双侧曲面, 在每个点有两个单位 法向量 n(x, y,z),−n(x, y,z). 分别指向曲面两侧，今指定指向一 侧的法向量为正向，则称 S 为定向曲面(oriented surface. (A) 若曲面 S 由 方程 F(x, y,z) = 0 给出. 则 在曲面上任意一点 M(x, y,z), 单位法向量是 | ( , , ) | ( , , ) F x y z F x y z n = 例如: 球面 S: x y z a , 2 2 2 2 + + = 在 M(x, y,z)
第五章向量分析 t vi+ n(x,y, 2)= ±, 可以根据要求的侧面选取其中的符号,作为法向量正向,相应一 侧作正侧,对封闭曲面,通常选外法向为正向,此例中即 n=ro (B)如果曲面S由方程〓=f(x,y)确定,在M(x,y,f(x,y)处 其单位法向量为 n(x,y,3)=* a d*k 如果以与z轴夹角小于二的为正向,则应当v在上式中选取正号 2 例如,平面S:z=1-x-y,如果上侧为正,则上述向量的符号 k 应当取正,即 n(x,y,二)= ()如果曲面S由参数方程{y=y(n),确定 2=2(u,y 则在任意一点(,v)的单位法向量是 Ai+ Bi+ck 1×l2A2+B2+ 其中A=det a(y,=) ax,y) a(,v) du v a(,v) 这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号 有向曲面S的边界aS定向 有向曲面S的边界OS是有向曲线.其方向按左侧规定:即,当 人站在曲面的正侧(即站立方向与正侧法向量一致),沿着aS正向 前进时,曲面S总是在它的左侧 (二)面微分向量(有向面积徽元) 有向曲面S上点M(x,y,=)处的有向面积微元dS是一个向量: 其方向是该点正法线方向,其模是面积微分充,即 ds=no(x,y, 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 0 ( , , ) r r xi yj zk n x y z = + + = , 可以根据要求的侧面 选取其中的符号,作为法向量正向，相应一 侧作正侧, 对封闭曲面，通常选外法向为正向，此例中即： 0 n r = . (B) 如果曲面 S 由方程 z = f (x, y) 确定, 在 M(x, y, f (x, y)) 处 其单位法向量为 . 1 ( ) ( ) ( , , ) 2 2 x f x f j k y f i x f n x y z + + − − + = 如果以与 z 轴夹角小于 2 的为正向, 则应当 v 在上式中选取正号. 例如, 平面 S : z = 1− x − y, 如果上侧为正, 则上述向量的符号 应当取正 ,即 n x y z i j k ( , , ) = . + + 3 (C) 如果曲面 S 由参数方程 ( ) ( ) ( ) = = = z z u v y y u v x x u v , , , , 确定. 则在任意一点 (u,v) 的单位法向量是 . | | 2 2 2 1 2 1 2 A B C Ai Bj Ck l l l l n + + + + = = 其中 A y z u v B z x u v C x y u v = det = = ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) , det ( , ) ( , ) . 这时可以根据曲面的方向适当地选取(4.3)中的的符号. ⚫ 有向曲面 S 的边界 S 定向: 有向曲面 S 的边界 S 是有向曲线. 其方向按左侧规定：即, 当 人站在曲面的正侧 (即站立方向与正侧法向量一致), 沿着 S 正向 前进时, 曲面 S 总是在它的左侧. (二) 面微分向量(有向面积微元) 有向曲面 S 上点 M(x, y,z) 处的有向面积微元 dS 是一个向量： 其方向是该点正法线方向，其模是面积微分充，即 dS n0 (x, y,z)dS =
第五章向量分析 其中而(x,y,z),为该点正侧单位法向量 在直角坐标系下有投影表示 ds=no(x, y, =)dS= Cosa dsi+ CosB dsj+ Cosy ds k = dy a di+d∧dxj+ax∧dk 这里,dS是面积微元,是正标量: dy∧d,dAdx,dx∧d是有向面微元分别在yz,x,xy三坐 标平面上的投影,如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, d∧c= cos ads,c∧ax= cos BdS,d∧d=cosS “∧”表示“外积”,满足如下重要性质(反称性) dx∧ax=d∧d=d∧d=0 dx∧d=-d∧dx,d∧d=-cAd,d^ax=-txAd (2)第二型曲面积分 例子:流场中通过曲面的流量 设区域ΩcR中有流体的流速场 U=X(x,y, =)i+Y(x,y,=j+Z(x,y, =)k 流体的密度为1,设S为内的一个光滑曲面试求流体通过S的 的流量. 解:取S的一侧为正侧,每点单位法向量为0(x,y,z) 在曲面S上任一点M(x,y,2)处取有向面积微元dS.则 流体通过dS流向正侧之流量为 dQ=U(x,y,z)dS=X小∧d+ Ydza dx+Z∧d 流体通过S流向正侧之流量为 o=U(x,y,=).ds Xd入在+Y在Ad+ZdAd 由此可得到第二型曲面积分的概念 定义:设F=X(x,yz)+Y(x,y,=)+Z(x,y,是区域 Ω≤R上的向量函数,S是中的光滑的有向曲面 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 其中 n (x, y,z) 0 , 为该点正侧单位法向量. 在直角坐标系下有投影表示： dS n x y z dS Cos dsi Cos dsj Cos ds k = ( , , ) = + + 0 = dy dzi dz dx j dx dy k + + 这里， dS 是面积微元, 是正标量； dy dz,dz dx,dx dy 是有向面微元分别在 yz,zx, xy 三坐 标平面上的投影, 如此记法这里是为了区别二重积分中的面积元, dydz = cosdS,dzdx = cosdS,dxdy = cosdS. “ ”表示“外积”, 满足如下重要性质(反称性): dx dx = dy dy = dz dz = 0 ; dx dy = −dy dx,dy dz = −dz dy,dz dx = −dx dz (2) 第二型曲面积分 ⚫ 例子：流场中通过曲面的流量: 设区域 3 R 中有流体的流速场： U X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k = , , + , , + , , 流体的密度为 1, 设 S 为 内的一个光滑曲面.试求流体通过 S 的 的流量. 解: 取 S 的一侧为正侧，每点单位法向量为 ( , , ) 0 n x y z . 在曲面 S 上任一点 M(x, y,z) 处取有向面积微元 dS .则 流体通过 dS 流向正侧之流量为 dQ = U(x y z) dS = X dy dz + Y dz dx + Z dx dy , , 流体通过 S 流向正侧之流量为 = S Q U x y z dS ( , , ) = + + S X dy dz Y dz dx Z dx dy 由此可得到第二型曲面积分的概念. ⚫ 定 义 : 设 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k = , , + , , + , , 是区域 3 R 上的向量函数, S 是 中的光滑的有向曲面
第五章向量分析 对任作一划分,第i小片作为有向面积AS,在三个坐标平面上 的投影分别为:△x,A,x,△,在△S,上任取一点 M(x1,y2=;),若和式极限 im∑X(MA=+Y(M)Aax+z(M)Aσn 存在,则称之为F(x,y,=)在曲面S上的第二型曲面积分.记成 Fxy)d-xd入在+YA+zAd 注:(i)积分中F(x,y,z)取值在曲面S上 (ii)对具体的曲面S的定向依据几何图 (iii)如果S是由有向光滑曲面S,S连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义 (iv)第二型曲面积分也具有方向性,即 F·dS=-F·dS 其中-S表示有向曲面S的另一侧 (V)若将单位法向量0(x,y,)表为 n= cos aa+cosf+cos水 则F·4s=∫ X cos a ds+ Y cos Bds+ Cosy ds 这就化成了第一类曲面积分 如果S由参数方程x=x(u,v),y=y(l,v),=(,v)表示,则 Ai+ Bj+Ck no A2+B2+C2 B CoSa= A=0B=+8+C cOSy= A2+B2+c A2+B2+C2 于是又有 F ds=I(XA+YB+z c)udv 例1:计算第二型曲面积分 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 对任作一划分, 第 i 小片作为有向面积 Si ，在三个坐标平面上 的投影分别为： , , , i yz i zx i xy 在 Si 上任取一点 ( , , ) i i i i M x y z , 若和式极限 ( ) ( ) ( ) = → X Mi i yz + Y Mi i zxz + Z Mi i xy 0 lim 存在，则称之为 F(x, y,z) 在曲面 S 上的第二型曲面积分. 记成： S F x y z dS ( , , ) = + + S X dy dz Y dz dx Z dx dy 注: (i) 积分中 F(x, y,z) 取值在曲面 S 上; (ii) 对具体的曲面 S 的定向依据几何图； (iii) 如果 S 是由有向光滑曲面 S1 ,...,Sk 连接而成的由有向 的逐片光滑曲面,则定义 = = k S i Si F dS F dS 1 . (iv) 第二型曲面积分也具有方向性,即 . = − −S S F dS F dS 其中 − S 表示有向曲面 S 的另一侧. (V) 若将单位法向量 ( , , ) 0 n x y z 表为： n = cosi +cosj +cosk. 则 = + + S S F dS X cos dS Y cos dS Z cos dS 这就化成了第一类曲面积分； 如果 S 由参数方程 x = x(u,v), y = y(u,v),z = z(u,v). 表示,则 2 2 2 0 A B C Ai Bj Ck n + + + + = cos ,cos ,cos . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C C A B C B A B C A + + = + + = + + = 于是又有 ( ) . = + + S S F dS X A Y B Z C dudv 例 1:计算第二型曲面积分
第五章向量分析 =x入在+yA+入h 其中S为半球面z=√R-x2 解1:按定义做三个积分,分别计算三个积分 1=xdA在,l2=ydA1==2Ah 对于曲面S的方程为z=√R2-x2- dx∧dy=cosy (曲面上侧为正,单位法向量与O轴正向的夹角余弦COSy为正.)因此 1=1=bAb-( Ide((r2-r2)n 对于l1=1xd入d,将S分成前后两部分 S:x=√R-y-=(z20)s:x=-R-y-=(z≥20) 在S1上,单位法向量n(x,y,2)与Ox轴正向的夹角余弦cOSa为正,所以 ax∧dhy=d S在y平面上的投影为 D=={(y,=)y R2,z≥0.} 于是 xdhy∧c idersin ONR2-r2rdr=2 R sint cos'tdt =TR 对于曲面S2,单位法向量n(x,y,z)与Ox轴正向的夹角余弦 cosa为负,所以txAd=-do x=√R-y-2.因为两个积分的积分区域相同,所以有 xz∧c=1xdyA 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 . 2 = + + S I x zdy dz y zdz dx z dx dy 其中 S 为半球面 z = R − x − y 2 2 2 . 解 1: 按定义做三个积分，分别计算三个积分: = = = S S S I x zdy dz,I yz dz dx, I z dx dy. 2 1 2 3 ⚫ 对于 I 3 . 曲面 S 的方程为 2 2 2 z = R − x − y . dx dy dS d xy = cos = (曲面上侧为正,单位法向量与 oz 轴正向的夹角余弦 cos 为正.)因此 ( ) = = − − Dxy xy S I z dx dy R x y d 2 2 2 2 3 = − = 2 0 0 2 2 4 2 1 ( ) R d R r rdr R ⚫ 对于 = S I xzdy dz, 1 将 S 分成前后两部分: 1 2 2 2 2 2 2 2 S : x = R − y − z (z 0),S : x = − R − y − z (z 0). 在 S1 上,单位法向量 n(x, y,z) 与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为正,所以 dxdy = d yz. S1 在 yz 平面上的投影为 {( , ) | , 0.} 2 2 2 Dyz = y z y + z R z , x = R − y − z 2 2 2 . 于是 + = − − 0 2 2 2 1 2 2 2 z y z R d yz z R y z S xzdy dz = . 8 1 sin 2 sin cos 2 2 4 2 0 4 0 0 2 2 d r R r rdr R t tdt R R − = = ⚫ 对于曲面 S2 ,单位法向量 ( , , ) 0 n x y z 与 ox 轴正向的夹角余弦 cos 为负,所以 dxdy = −d yz. x = − R − y − z 2 2 2 . 因为两个积分的积分区域相同, 所以有 . 8 1 4 2 1 R S xzdy dz S xzdy dz = =
第五章向量分析 于是 =x入=x入在x入= 同样的方法可以得到 y∧dx=-m 于是 =l1+l2+l3=丌R 解2:化成第一类曲面积分 由I=F元dS.其中 F=xi+yj+z2k.注意到 (o/dedyardxdy 所以, 1=JF. ds=(x+y+=)drdy= JR'dxdy=R 例2:计算积分=F:S.其中F=x7+x+=3k, S是三个坐标面与平面x+y+2=1围成的四面体的外表面 解 S由四片光滑曲面S1,S2,S3S1组成 其中S2S2,S分别是xOV,=0x,yDz平面上的三角形 S是平面x+y+2=1在第一卦限中的部分.于是 ∫Pd=(∫+」∫+∫+∫)F·ds 在S1上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是-k,并且 AS=axd所以 ∫FdS=」』=a入b=-dd=0 同样可以得到Fds ·在S上dS=√3,i=(+j+k),所以 F:.s=Fn△=』(x2+y2+=2)dh 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 于是 2 I = . 4 1 4 1 2 xzdy dz xzdy dz xzdy dz R S S S = + = 同样的方法可以得到 I 2 = . 4 1 4 yzdz dx R S = 于是 I = I 1 + I 2 + I 3 = R 4 . 解 2: 化成第一类曲面积分: 由 = S I F n0dS . 其中 F xzi yzj z k 2 = + + .注意到, dxdy z R dxdy y z x z Cos dxdy dS = + = = + 2 2 1 所以, + = = + + = = 2 2 2 ( ) . 2 2 2 2 4 S S x y R I F dS x y z dxdy R dxdy R 例 2:计算积分 = S I F dS .其中 , 2 2 2 F x i x j z k = + + S 是三个坐标面与平面 x + y + z = 1 围成的四面体的外表面. 解: S 由四片光滑曲面 S1 ,S2 ,S3 ,S4 组成. 其中 S1 ,S2 ,S3 分别是 xoy,zox, yoz 平面上的三角形. S4 是平面 x + y + z = 1 在第一卦限中的部分.于是 ( ) . 1 2 3 4 = + + + S S S S S F dS F dS ⚫ 在 S1 上,由于是沿下侧积分,而下侧的单位法向量是 −k ,并且 dS = dxdy. 所以 0 0. 1 1 1 2 = = − = S dxdy S S F dS z dx dy ⚫ 同样可以得到 0. 2 3 = = S S F dS F dS ⚫ 在 S4 上 ( ) 3 1 3 , 0 dS dxdy n i j k = = + + ,所以 + = = + + 0, 0 1 2 2 2 0 ( ) 4 4 x y S x y x y z dxdy S F dS F n dS
第五章向量分析 d x 因而 F·dS 例3:计算=x(y-)入在+(x-y)d入d 其中S为:x2+y2=1(0≤z≤2)外侧 解1:由于曲面S在xOy平面上的投影为一曲线,所以 (x-y)dx a dy=0 为了计算另一个积分,将曲面S分成两部分 S:x=1-y(0≤z≤2,S:x=-√1-y(0≤z≤2) 在S1和S2上,分别有 dAc=dc;d∧d=-d= 又, S在yz平面上的投影为矩形 D-1≤y≤1;0≤z≤2 所以 x(-)dAh=(+x(y-)入在 Ss d∫-y(y-2)-「∫ 2 d= 解2:化成第一类曲面积分: 因F=x(y-2)+(x-y)j 在S上:而o=xi+yj F而0=x2( ∫F°d.=』F币4S=x(y-S 取柱面的曲参数方程y=SmO,(0≤6≤2x,0≤=≤2) 二=二 则dS=d 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 = ( ) . 4 1 (1 ) 1 0 2 2 2 1 0 + + − − = − dx x y x y dy x 因而 . 4 1 = S F dS 例 3:计算 I x( y z)dy dz (x y)dx dy. S = − + − 其中 S 为: 2 2 x + y = 1(0 z 2). 外侧. 解 1: 由于曲面 S 在 xoy 平面上的投影为一曲线,所以 ( − ) = 0. S x y dx dy 为了计算另一个积分, 将曲面 S 分成两部分: 1 2 2 2 S : x = 1−y (0 z 2);S : x = − 1−y (0 z 2). 在 S1 和 S2 上, 分别有 dydz = d yz ;dydz = −d yz . 又, S 在 yoz 平面上的投影为矩形: D:−1 y 1;0 z 2. 所以 = − − = − = − − − − − − − = + − − − − 2 0 1 1 2 2 0 2 0 1 1 2 1 1 2 2 1 ( ) 2 . 1 ( ) ( 1 )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 dz y y z dy dz y y z dy dz y y z dy x y z dy dz S S x y z dy dz S 解 2: 化成第一类曲面积分： 因 F x y z i x y j = ( − ) + ( − ) 在 S 上: n x i y j 0 = + ( ) 2 0 F n = x y − z F dS F n dS x (y z)dS S S S = = − 2 0 . 取柱面的曲 参数方程 = = = z z y Sin x Cos , (0 2,0 z 2) 则 dS = ddz
第五章向量分析 于是 ∫F4=』x2(-l=∫os:sm0-k ∫ de cos(smb-)=-2r 5-42 Gauss公式 Gauss公式 定理(Gaus公式):设ΩcR为有界区域,向量函数 F(,y, 3=X(,y,z)i+y(x,y,=)j+z(x,y, =)k 是一个在Ω内连续可微,在g2=9∪a2上连续的向量函数,则有 F ds=vF 或 地入在+Ax+ZAd= cx or oZ dy). 其中曲面积分是沿2外侧进行的 证明:只要我分别证明以下三式 Zax a dy 「YAdx 即可完成定理证明 令证其中第一式,其它两式可以完全类似地证明 与证明 Green公式类似,首先考虑一种特殊情形 上底和下底分别为 二=f2(x,y)S:二=f(x,y) S1和S2均为逐片光滑曲面 2在xoy平面上的投影是D 此时a2由S1,S2组成外侧为正 在下底S上法向量与与Oz轴成钝角 fi(xr, y) 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 于是 cos (sin ) 2 . ( ) cos (sin ) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 = − = − = − = − d z dz F dS x y z dS z d dz S z S 5-4-2 Gauss 公式 ⚫ Gauss 公式 定理 (Gauss 公式):设 3 R 为有界区域, 向量函数 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 是一个在 内连续可微, 在 = 上连续的向量函数, .则有 = F dS F dV 或 ( )dxdydz. z Z y Y x X Xdy dz Ydz dx Zdx dy + + = + + 其中曲面积分是沿 外侧进行的. 证明: 只要我分别证明以下三式, . , , dV x X Xdy dz dV y Y Ydz dx dV z Z Zdx dy = = = 即可完成定理证明. 令证其中第一式, 其它两式可以完全类似地证明. 与证明 Green 公式类似，首先考虑一种特殊情形: ⚫ 上底和下底分别为 2 2 1 S 1 :z = f (x, y);S :z = f (x, y). S1 和 S2 均为逐片光滑曲面. 在 xoy 平面上的投影是 Dxy ; 此时 由 S1 , S2 组成. 外侧为正. 在下底 S1 上法向量与与 oz 轴成钝角 所以 z z = f2(x,y) z= f1(x,y) Dxy
第五章向量分析 ∫2Ah=-』2(xy,f(xy)d Z(, y,f(x, y))dxdy 在上底S2上法向量与与O=轴成锐角所以 ∫2Ah=-z(xy,f(x,y)d Z(x,y,f,(x, y)dxdy 以上二式相加得到 zab=』zd入b+zaAb z(xy,f(xy)∧d+』z(x,y,(x,y)入h 于是对于上述简单情形,定理结论是正确的 对于一般的区域_2,可以将其分成若干个小区域 使得每一个小区域都属于上面的简单情形 由已经证明的结论得到 zhAh=2(=L…,k) 将上式两端分别对于i求和由于在区域内部的那些O上 都是沿其两侧各积分一次,因而互相抵消所以左端只剩下 在△上的积分,即∑』2xAd=2入d 右端求和得到∑⑩2d在= 联合起来的结果,就使定理得证.上式称为Gaus公式 散度子V·v的物理意义 假设F(x,y,z)=X(x,y,=)i+Y(x,y,)j+z(x,y,)k 是区域Ω上的连续可微向量场,M是内一点.V(r>0)是包含 M在2中的一个城,其体积为卩|,该集合之直径为r;而是其边界 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 = − = − D Z x y f x y dxdy D Z x y f x y d S Zdx dy xy xy xy ( , , ( , )) ( , , ( , )) 1 1 1 在上底 S2 上法向量与与 oz 轴成锐角.所以 = − = − D Z x y f x y dxdy D Z x y f x y d S Zdx dy xy xy xy ( , , ( , )) ( , , ( , )) 2 2 2 以上二式相加得到: = + S 1 S2 Z dx dy Z dx dy Z dx dy = ( ) ( ) + 1 2 , , ( , ) , , ( , ) 2 1 S S Z x y f x y dx dy Z x y f x y dx dy = D f x y f x y dz dxdy z Z ( , ) ( , ) 2 1 = dv z Z 于是对于上述简单情形,定理结论是正确的. 对于一般的区域 ,可以将其分成若干个小区域 1 ,2 ,...,k , 使得每一个小区域都属于上面的简单情形. 由已经证明的结论得到 dV z Z Zdx dy i i = (i =1,...,k) 将上式两端分别对于 i 求和. 由于在区域 内部的那些 i 上, 都是沿其两侧各积分一次, 因而互相抵消.所以左端只剩下 在 上的积分, 即 = = k i Zdx dy Zdx dy i 1 . 右端求和得到 . 1 dxdydz z Z dxdydz z Z k i i = = 联合起来的结果, 就使定理得证. 上式称为 Gauss 公式. ⚫ 散度子 v 的物理意义. 假设 F x y z X x y z i Y x y z j Z x y z k ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 是区域 上的连续可微向量场, M0 是 内一点. V (r 0) r 是包含 M0 在 中的一个城, 其体积为 Vr , 该集合之直径为 r ; 0 n 是其边界
第五章向量分析 H的外单位法向量积分FS是向量场F通过曲面从 a的通量或(,的发散量)积分口F,4就是向量场 F在V上的平均发散量(即单位体积的发散量) 如果极限如手F元△存在,则称这个极限值,为向量 场F在点M的散度,记作dhv(M0) 应用 Gauss公式得到 V· F dxdvdz dh(M)=mF·心=加mv,Fdd=v,F(M) 在二维情形,设F(x,y)=X(x,y)+Y(x,y) 是区域DcR上的连续可微向量场,则Gaus公式变成 手F=F面=可 0a分xh=Fd 这正是 Green公式可见 Gauss公式是 Green公式在三维空间的推广, 例1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程: 设某流体在一空间域上的流速场: U(x,y,z,1)=X(x,y,z,D)+Y(x,y,,1)+Z(x,y,,1)k, 流体的密度和速度(x,y,z,1),考察以点M(x,y,)为中心,以 r(>0)为半径的球D在时刻t,D中所含流体总量等于 Q(D, 1)=u(x,y,4,)dxdyd- 这个量对于时间的变化率正是,流体在t刻,自D内部穿越其边 界向外发散速度的负值,即 20M=-(M(M0 其中n为OD的外单位法向量由散度定理得到得到 arJuutkdrdydi div(u(M, t (M, n)dxdydc 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 Vr 的外单位法向量. 积分 Vr F n0 dS 是向量场 F 通过曲面从 Vr 的通量或 ( Vr 的发散量). 积分 Vr r F n dS V 0 1 就是向量场 F 在 Vr 上的平均发散量(即单位体积的发散量). 如果极限 → Vr r F n dS V 0 0 1 lim 存在, 则称这个极限值, 为向量 场 F 在点 M0 的散度,记作 ( ) div M0 . 应 用 Gauss 公式得到 = Vr Vr F dS F dxdydz ( ). 1 lim 1 ( ) lim 0 0 0 0 F dxdydz F M V F dS V div M r Vr r r r V r = = = → → 在二维情形, 设 F x y X x y i Y x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 是区域 D R 2 上的连续可微向量场, 则 Gauss 公式变成 ( ) . 0 = = + = D D D D dxdy Fdxdy y Y x X F n dl F dn 这正是 Green 公式.可见 Gauss 公式是 Green 公式在三维空间的推广. 例 1:空间分布着不可压缩流体的连续性方程： 设某流体在一空间域上的流速场： U x y z t X x y z t i Y x y z t j Z x y z t k ( , , , ) = ( , , , ) + ( , , , ) + ( , , , ) , 流体的密度和速度 (x, y,z,t), 考察以点 M (x, y,z) 为中心,以 r( 0) 为半径的球 Dr .在时刻 t , Dr 中所含流体总量等于 Q(D t) r , = D x y z t dxdydz r ( , , , ) . 这个量对于时间的变化率正是, 流体在 t 刻, 自 Dr 内部穿越其边 界向外发散速度的负值, 即 ( ) = − Dr Dr M t dxdydz M t U M t dS t ( , ) ( , ) , 其中 n 为 Dr 的外单位法向量.由散度定理得到,得到 ( , ) ( ( , ) ( , ))dxdydz. D div M t U M t D M t dxdydz t r r = −