第五章不定积分 第五章不定积分 CThe indefinite integration 第十三讲积分方法及“可积”函数类 课后作业: 阅读:第五章54:pp.135-137;5.5:p.138-141; 预习:第五章56:pp.143--149;5.7:pp151-155 练习pp.137-132:习题54:1;3;4中的单号题;10;1 pp142--143:习题55:1,2,3,7,8各题中的单号题 作业pp.137--132:习题54:1;2;3中的双号题;3;6 pp142-143:习题55:1,2,3,7,8各题中的双号题;4;6 5-4变量置换法 凑微分法是通过局部的积分,即u(x)dx=d(x),将欲求的积分 ∫/(x)k向己有的积分公式F'oxo)d(x)=F((x)+c转化 这是实际上是作了一个变量置换:=u(x),将 f(x)dx=F(u(x))u(x)dx= F(udu 如果凑微分目标不明,亦可先用变量置换先化简被积分式子,即引 进新的自变量x=(1),将积分 f(x)dx=f(op(O)'(o)dt 如果能够求出函数f(q()p(t)的原函数G(),并且反函数 t=-(x)存在,于是就得到不定积分; JS(x)dx=f(o(D)o'(dt=G(o"(x)+c 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步 定理:若x=0()可导,且有反函数t=-(x),则有 ∫f(x)d=Jqo))b 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是,最后结果应换回最 原始的自变量。 例1:求∫a2-xd 解:(1)设变量,换被积分式 令x=asnt,则 dx= acostdt va2=x2=acost (2)算积分 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 第五章 不定积分 (The indefinite integration ) 第十三讲 积分方法及“可积”函数类 课后作业： 阅读：第五章 5.4: pp.135---137; 5.5: pp.138---141; 预习：第五章 5.6:pp. 143---149; 5.7:pp.151--155 练习 pp.137---132: 习题 5.4: 1; 3; 4 中的单号题; 10; 11. pp.142---143: 习题 5.5: 1, 2, 3, 7, 8 各题中的单号题. 作业 pp.137---132: 习题 5.4: 1; 2; 3 中的双号题; 3; 6. pp.142---143: 习题 5.5: 1, 2, 3, 7, 8 各题中的双号题; 4; 6. 5-4 变量置换法 凑微分法是通过局部的积分, 即 u (x)dx = du(x) , 将欲求的积分 f (x)dx 向己有的积分公式 F u x du x = F u x + c ( ( )) ( ) ( ( )) 转化. 这是实际上是作了一个变量置换： u = u(x) , 将 f (x)dx = F(u(x))u (x)dx = F(u)du . 如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引 进新的自变量 x = (t) ,将积分 f (x)dx = f ((t))(t)dt . 如果能够求出函数 f ((t))(t) 的原函数 G(t) ,并且反函数 ( ) 1 t x − = 存在, 于是就得到不定积分; f (x)dx = f ((t))(t)dt = G x + c − ( ( )) 1 . 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单, 也是进了一步。 定理：若 x = (t) 可导，且有反函数 ( ) 1 t x − = , 则有 f (x)dx = f ((t))(t)dt . 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最 原始的自变量。 例 1: 求 a x dx − 2 2 解: (1) 设变量，换被积分式: 令 x = asin t ,则 dx acostdt , a x acost 2 2 = − = , (2)算积分 t a 2 2 a − x x
第五章不定积分 ∫a2-x2atx=acos2tt (+cos 2n)dt=-(t+sin t cost) (3)回代自变量 sint= x,得cost=1a2-x2,t arcsin xva +a' arcs -)+c 例2:求「 解:(1)设变量,换被积分式 令x=agt,则d=asec2tdn,Va2+x2= a sect (2)算积分 x dsin t In(sect +igt)+c (3)回代自变量 x=at h(+a2+x2)+e 例3:求l d x 解:令x=ag,则d=asec2td,Ⅶa2+x2= a sec t dt dt 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 a − x dx 2 2 = a tdt 2 2 cos = t t t c a t dt a + = + + ( sin cos ) 2 (1 cos 2 ) 2 2 2 (3) 回代自变量 a x sin t = , 得 1 2 2 cos a x a t = − , a x t = arcsin , a x dx − 2 2 c a x = (x a − x + a arcsin ) + 2 1 2 2 2 例 2: 求 dx a x + 2 2 1 解: (1) 设变量，换被积分式: 令 x = atgt ,则 dx asec t dt , a x a sect 2 2 2 = + = , (2)算积分 dx a x + 2 2 1 = = dt t t dt cos 1 sec = − t d t 2 1 sin sin = = c ( t tgt) c t t + = + + − + ln sec 1 sin 1 sin ln 2 1 (3) 回代自变量 x = atgt , a x tgt = , 1 2 2 sec a x a t = + , dx a x + 2 2 1 = (x + a + x )+ c 2 2 ln 例 3: 求 I = ( ) dx a x + 3 2 2 1 解： 令 x = atgt ,则 dx asec t dt , a x a sect 2 2 2 = + = , I = = t dt a dt a x a t cos 1 sec sec 3 3 2 2 t C a = sin + 1 2 = C a a x x + + 2 2 2 2 2 a + x x t a
第五章不定积分 解 √h+(a/x)2 小+()27(+(0Fy C +c (a/x)2 x 55分部积分法 分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式,运用它 可以将一个积分换成另一个积分 假定函数(x),v(x)可微,则 d(uv)=vdu+ udv 由此得到 udv=d(uv)-ve 两端积分得到 udv= uv-vd 这就是分部积分公式,它将两个积分∫ht,jvdh互相转化,只要能求出 其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转 化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分 udy 分部积分公式 →|vdu u微分:v积分 什么函数微分后会“简单”些?宜于取作u(x) 幂函数;对数函数;反正弦、反正切函数 什么函数积分后会“简单”些?宜于取作v(x) 经积分微分后会“简单”情况不变的函数:可作l(x),亦可为v(x) 正弦、佘弦函数,指数函数 例4:求∫xe2dr 解:取l=x,hv →γ ∫xe2=hn=amn-Jr 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 另解： ( ) dx a x + 3 2 2 1 = ( ) dx x a x + 3 3 2 1 1 = ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) + + = − + − 3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 1 a x d a x a a x d a x a = ( ) + = + C a x a 2 2 1 1 1 C a a x x + + 2 2 2 5-5 分部积分法 分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式，运用它 可以将一个积分换成另一个积分。 假定函数 u(x), v(x) 可微,则 d(uv) = vdu + udv 由此得到 udv = d(uv) − vdu 两端积分得到 udv = uv − vdu 这就是分部积分公式,它将两个积分 udv, vdu 互相转化,只要能求出 其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转 化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分: ⎯⎯⎯ ⎯→ udv vdu 分部积分公式 ⎯⎯⎯ ⎯→ v d u d v u u v , 微分； 积分 , 什么函数微分后会“简单”些？ 宜于取作 u(x) 幂函数; 对数函数； 反正弦、反正切函数. 什么函数积分后会“简单”些？ 宜于取作 v(x) ?? 经积分微分后会“简单”情况不变的函数: 可作 u(x) , 亦可为 v(x) 正弦、佘弦函数，指数函数 例 4:求 xe dx 2x 解: 取 u x dv e dx 2x = , = x v e 2 2 1 = , xe dx 2x = udv = uv − vdu
第五章不定积分 -xe 例5:求∫x2sndx 解:jx2sm2amn4 3x cos=+6 xcos-dx 对于∫xcos再运用分部积分公式 cos=dx= co 3xsin-3sin -dx=3xsin +9cos+c 于是∫ x sin -dx=-3x2os+18xn3+54co+c 由以上两个例子看出,对于形如 ∫xedx,∫ x sin bxdx,Jx2 cos bxdx 的积分运用分部积分公式时,需要取 u=x. v=e"dx. c=sin bxdx dv= cos bxdx 例6求「 xIn xdx 解: jxhnxdr-hxd(x2/2)= d x 例 arctan xdx A?: arctan xdx=x arctan x 1+x x arctan x C 例8求∫√x2+a2h 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 = xe − e dx 2x 2x 2 1 2 1 xe e c x x = − + 2 2 4 1 2 1 例 5:求 dx x x 3 sin 2 解: dx x x 3 sin 2 = 3 3 sin 3 x d x dx x x x x = − + 3 6 cos 3 3 cos 2 对于 dx x x 3 cos 再运用分部积分公式, dx x x 3 cos = 3 2 cos 2 x d x = − dx x x x 3 3 sin 3 3 sin c x x = x + + 3 9cos 3 3 sin 于是 dx x x 3 sin 2 = c x x x x − x + + + 3 54cos 3 18 sin 3 3 cos 2 由以上两个例子看出,对于形如 x e dx x bxdx x bxdx k a x k k , sin , cos 的积分运用分部积分公式时,需要取 k u = x , dv e dx ax = , dv = sin bxdx, dv = cosbxdx. 例 6:求 x ln xdx 解: xln xdx= ( ) ln 2 2 x d x = dx x x x c x x = x x − = − + 2 2 2 2 4 1 ln 2 1 1 2 ln 2 1 例 7: 求 arctan xdx 解: arctan xdx + = − dx x x x x 2 1 arctan = x x − ( + x )+ c 2 ln 1 2 1 arctan 例 8: 求 x + a dx 2 2
第五章不定积分 解: x+a +a-a +a + a 2JVx2+adr=xvx2+a2+a2 d x x+vx ta tc 2[x2-a2dx=x√x2 d x tvx +a+c 类似典型题有: in bxdx sin bx cos xdx= bx cosx sin bx- b cos bx- e(asin bx-bcosbx e sinx a-+ 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 解： x + a dx 2 2 = + + − dx x a x x x a 2 2 2 2 2 = + + − + − dx x a x a a x x a 2 2 2 2 2 2 2 = + + − + − dx x a a x x a x a 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + dx x a x a dx x x a a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (x x a ) c a x + a dx = x x + a + + + + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1 . ⚫ x − a dx 2 2 = − − − dx x a x x x a 2 2 2 2 2 = − − + − − dx x a x a a x x a 2 2 2 2 2 2 2 = + − − − + dx x a a x x a x a 2 2 2 2 2 2 2 + − = + − dx x a x a dx x x a a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (x x a ) c a x − a dx = x x + a − + + + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1 类似典型题有： = a e e bxdx xd ax ax sin sin = − e xdx a b bx a e ax ax sin cos = = ( ) − ax ax xd e a b bx a e sin cos 2 = − − e xdx a b e bx a b bx a e ax ax ax sin cos sin 2 2 2 ; ( ) c a b e a bx b bx e xdx ax ax + + − = 2 2 sin cos sin
第五章不定积分 例9求n=「cos”xdx 解:1n= cos"xdx=jcos”xd(smx) =sin xcos"-x+(n-1)lsin-xcos"-xdx sin xcos-x+(n-1)cos"-xdx-(n-1)cos"xdx n xcos"x+(n-D/n-2-(n-1)/ 得到递推公式 1n=SnxC其1 利用容易求得的 x+c, I=cos xdx=six+c 就可以利用上面得到的递推公式计算1,= cos"xd 对于分部积分有三种典型类 P(x)是多项式函数;R(x)是有理分式函数 第一种,化简型:如 ∫P(x)e"at;∫P( x ) sin bx d; ∫R(x)hxd;∫(x) arctgxdx 第二种,循环型:如 ∫√x±dd;je" sin bx dx xe sin bx dx 第三种,递推型:如 ∫m”xdk;j(smb)ya;∫ 在基本积分表中加上几个公式 dx 2=rc1g-+c(a≠0); 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 例 9: 求 I = xdx n n cos 解: I = xdx n n cos − = cos (sin ) 1 xd x n = − − x x + n − x xdx n 1 2 n 2 sin cos ( 1) sin cos = + − − − − − x x n xdx n xdx n n n sin cos ( 1) cos ( 1) cos 1 2 n n n sin xcos x (n 1)I (n 1)I 2 1 = + − − − − − 得到递推公式: 2 1 1 sin cos 1 − − − = + n n n I n n x x n I 利用容易求得的 I = dx = x + c 0 , I = xdx = x + c 1 cos sin 就可以利用上面得到的递推公式计算 I = xdx n n cos . ⚫ 对于分部积分有三种典型类： P(x) 是多项式函数； R(x) 是有理分式函数. 第一种，化简型：如 P x e dx ax ( ) ; P(x)sin bx dx ; R(x)ln x dx ; R(x) arctgx dx 第二种，循环型：如 x a dx 2 2 ; e bx dx ax sin ; x dx 3 sec ; xe bx dx ax sin 第三种，递推型：如 x dx n ln ; ( ) bx dx n sin ; ( ) + dx x a n 2 2 1 在基本积分表中加上几个公式： c a x arctg a x a dx = + + 1 2 2 ( a 0 );
第五章不定积分 (a≠0 dh =arcs -+c(a>0) hx+√x2±a2+c 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 c a x x x a x a dx + − + = − ln 2 1 2 2 ( a 0 ); c a x a x dx = + − arcsin 2 2 ( a 0 ); x x a c x a dx = + + 2 2 2 2 ln (x x a ) c a x a dx = x x a + + + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1
