第五章向量分析 第五章向量分析 5-2 Green公式、平面有势场 5-2-1 Green公式 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3势函数与有势场 第十八讲 Green公式、平面有势场 课后作业 阅读:第五章第二、三节: Green公式pp.152--164 预习:第五章第四节:第二型曲面积分pp.165-172 作业:习题2:pp.158-159:1,(2),(4),(6),(7);2;4;5. 习题3:pp.164-165:1,(3),(4);4;5 5-2 Green公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场 F(x,y)=X(x, y)i+r(x,y)j 5-2-1 Green公式 设F:DcR2→R2,F(x,y)=X(x,y)2+Y(x,y)j 其中D是一个有界区域, 域与边界定向的关系:边界aD是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交),其正向是为使区域D总在左侧 定理( Green公式):设 (1)DcR是一个有界闭区域,其边界a是逐段光滑的有向 的简单闭曲线 )F(x,y)=X(x,y)i+Y(x,y)在D上连续、在内部连续 可微 则有,fF于+=一b 证明:根据结论 Y=0→「Xax dxd小 X=0→4d dxc 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-2 Green 公式、平面有势场 5-2-1 Green 公式 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 5-2-3 势函数与有势场 第十八讲 Green 公式、平面有势场 课后作业： 阅读：第五章 第二、三节: Green 公式 pp. 152---164 预习：第五章 第四节: 第二型曲面积分 pp. 165---172 作业: 习题 2: pp.158---159 : 1, (2), (4), (6), (7); 2; 4; 5. 习题 3: pp.164---165 : 1, (3), (4); ; 4; 5. 5-2 Green 公式、平面有势场 本节专门讨论平面向量场: F x y X x y i Y x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 5-2-1 Green 公式 ⚫ 设 2 2 F : D R → R , F x y X x y i Y x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 其中 D 是一个有界区域, 域与边界定向的关系：边界 D 是逐段光滑的简单有向闭曲线(曲 线不自相交), 其正向是为使区域 D 总在左侧. ⚫ 定理 (Green 公式): 设 (1) D R 2 是一个有界闭区域,其边界 D 是逐段光滑的有向 的简单闭曲线; (2) F x y X x y i Y x y j ( , ) = ( , ) + ( , ) 在 D 上连续、在内部连续 可微. 则有, dxdy y X x Y F dl Xdx Ydy D D D ( ) = + = − 证明: 根据结论: = = − D D dxdy y X Y Xdx 0 , = = − D D dxdy x Y X Ydy 0 , y y=y2(x) L2 A B y=y1(x) L1 a b x
第五章向量分析 因此只须分别证明以下两式 ax=-a,地y dxdy 以下只证明其中的第一式 先考虑一种简单情形,即区域D可以表示为下面的形式 <y< y()y≤n2(x) 其中y(x)y2(x)是[a,6上的连续可微函数 边界D由光滑曲线L1,L2组成 将[xd化成累次积分可以得到 dxdy dv)dx [X(xy2(x))-X(xy2(x))Jd X(xy2(x)dx-X(xy(x)x 在一般情形,即D为任意区域时,可以用辅助线将D分成几个小区 域DA3…D.其中每个区域都是上述简单情形.定理得证 等式称为Gren公式 例1:利用Grem公式用曲线积分表示平面图形的面积: xay- yar kxdh=‖do= D aa 例如对于椭圆D:x+)≤1,如果令x= acos e, y=bsmB则 σ=4xdhy=| ab cos2a=mb 例2:计算积分/=(2-2xysm(x2)+cosx2) 其中L为椭圆立+=1的右半部分.(x20) 正向为逆时针方向. 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 因此只须分别证明以下两式: = − = D D D D dxdy x Y dxdy Ydy y X Xdx , . 以下只证明其中的第一式. 先考虑一种简单情形,即区域 D 可以表示为下面的形式: = ( ) ( ) ( , ) | 1 2 y x y y x a x b D x y 其中 y (x) y (x) 1 2 , 是 [a,b] 上的连续可微函数. 边界 D 由光滑曲线 1 2 L ,L 组成. 将 dxdy y X D 化成累次积分可以得到 dy dx y X dxdy y X D b a y x y x ( ) ( ) ( ) 2 1 = = X x y x X x y x dx b a [ ( . ( )) ( . ( ))] 2 − 2 = = + − = − 1 2 ( . ( )) ( . ( )) 2 1 D L L b a b a X x y x dx X x y x dx Xdx 在一般情形,即 D 为任意区域时,可以用辅助线将 D 分成几个小区 域 D1 ,...,Dk .其中每个区域都是上述简单情形. 定理得证. 等式称为 Green 公式. 例 1: 利用 Green 公式用曲线积分表示平面图形的面积： dxdy d D y X x Y xdy ydx D D D − = − = = ( ) 2 1 2 1 例如对于椭圆 D : 2 2 2 2 1 x a y b + ,如果令 x = acos, y = bsin , 则 cos . 2 0 2 xdy ab d ab D = = = 例 2:计算积分 = − + L I (y 2xysin( x )dx cos(x )dy, 2 2 2 其中 L 为椭圆 2 2 2 2 1 x a y b + = 的右半部分.(x 0) , 正向为逆时针方向
第五章向量分析 解:设L是起,终点分别为A(0,-b),B(0,b)的直线 D表示右半椭圆x+2≤1(x≥0).则由Gren公式得到 J(2-2xysin(x2)dr+cos(x2)dy & os(2-o (--2xysin( x lardy ∫j2b=-2 b[brsin eabrdrde 2ab sin 00 r2dr=o 2 是1=0y2-2ym(x)+ox)==21 例3:计算积分「 xdy- ydx 其中L为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向 解:设L为圆周x2+y2=r2,逆时针为正r为充分小而使其位于L 之内。记X= x+1,显然有:除原点外 aX a 对于L与L所夹环形区域D及其边界,用 Green公式得到 xdy-ydx 2x r(cos+sin 0) d6=2x 例4:设平面流场,流速向量 U(x.,_((x d C是一条闭的光滑的有向曲线 正方是逆时钟方向 求流出这闭曲线之流量 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 解:设 L1 是起,终点分别为 A(0,−b),B(0,b) 的直线. D 表示右半椭圆 2 2 2 2 1 x a y b + (x 0) . 则由 Green 公式得到 y x y x dxdy y x x y x y x dx x dy D L L [ cos( ) ( 2 sin( ))] ( 2 sin( ) cos( ) 2 2 2 2 2 2 1 = − − − + − = − = − D D 2ydxdy 2ab brsin abrdrd. − = − = 2 2 1 0 2 2 2 sin 0 ab d r dr 于是 ( 2 sin( )) cos( ) 2 . 2 2 2 1 − = − + = = b L b I y x y x dx x dy dy b 例 3:计算积分 + − L x y xdy ydx 2 2 .其中 L 为任何包含原点的光滑简单 闭曲面,逆时针方向. 解: 设 L1 为圆周 2 2 2 x +y = r ,逆时针为正.r 为充分小而使其位于 L 之内。记 X y x y Y x x y = − + = + 2 2 2 2 , , 显然有：除原点外 X y Y x − = 0. 对于 L 与 L1 所夹环形区域 D 及其边界，用 Green 公式得到 0 . 2 2 2 2 + − = + + − L D L x y xdy ydx dxdy x y xdy ydx = 2 . 2 (cos sin ) 0 2 2 2 2 = + d r r 例 4: 设平面流场，流速向量 ( ) ( ) ( ) = v x y u x y U x y , , , , C 是一条闭的光滑的有向曲线， 正方是逆时钟方向. 求流出这闭曲线之流量。 y dl dn D x
第五章向量分析 解:流过小弧段而=j-di J·而=J-(x,y+ (u,y)dx - dx 直观的解释: 没过边长为dx,dy的长方形的流量 au av →Q= 5-2-2第二型曲线积分与路径无关性 平面曲线积分与路线无关 设F=X(x,y)+Y(x,y)j.平面区域D上的连续向量场。 如果曲线积分「Fd只与曲线的起点和终点有关,而与曲 线L本身的路线无关,则称该积分与路线无关 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场 ·定理:DR为区域,F=X(x,y)+Y(x,y)是D上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价 1).积分Fd与路线无关 (2).对于D中的任意闭曲线C,有M+地=0. (3).F=X(x,y)+Y(x,y)在D上有单值的势函数 即存在可微函数∫(x,y),使得 Vx,y)=x(x, y)i+Y(x,y)j 证明:(1)◇(2)是十分明显的。留给读者 现证:(1)→(3) (3)→(1):今有函数∫(x,y),使得 vfx,y)=x(x,yi+Y(x,y)j 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 解：流过小弧段 dn dx j dy i = − ( ) ( ) = = − + C C Q U dn v x, y dx u x, y dy = + D dxdy y v x u 直观的解释： 没过边长为 dx,dy 的长方形的流量： dxdy y v x u dy dx y v dx dy x u dQ + = + = , + = D dxdy y v x u Q 5-2-2 第二型曲线积分与路径无关性 ⚫ 平面曲线积分与路线无关: 设 F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) .平面区域 D 上的连续向量场。 如果曲线积分 L F dl 只与曲线的起点和终点有关, 而与曲 线 L 本身的路线无关, 则称该积分与路线无关. 积分与路线无关的向量场称为有势场或保守场. ⚫ 定理: D R 2 为区域, F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 是 D 上的连续 可微的向量场,则以下命题互相等价: (1). 积分 L F dl 与路线无关; (2). 对于 D 中的任意 闭曲线 C ,有 + = C Xdx Ydy 0. (3). F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 在 D 上有单值的势函数, 即存在可微函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j , = , + , . 证明: (1) (2)是十分明显的。留给读者。 现证：(1) (3) (3) (1): 今有函数 f (x, y), 使得 f (x y) X(x y)i Y(x y)j , = , + , 即 f x X x y f y = ( , ), = Y(x, y). v + dy y v dy (u ,v) dx u+ dx x u
第五章向量分析 对于任意一条起点A和终点B的逐段光滑有向闭曲线L 假定它们参数方程为 (y=yo(asts By 并且A=(x(a),y(a),B=(x(),y().则有 xx+2=J[x(x()y()x()+V(x)y()yojd dt=f(B)-f(A 因此积分与路线无关 (3)←(1)在区域D中任意取定一点M(xo,y) 对于D中任意一点M(x,y),L是D中以M0,M为起终点的中 任一光滑曲线:定义 M(x, y) f(M)=xx+h=「xax+hy Mo(xo, yo) 由于积分与路线无关,所以函数∫在D上是确定的 下面证明对任意M(x,y)∈D有: Vf(x, y)=X(x,y,)i+y(x,y)j f(x+△x,y+△y)-f(x,y) (x+Ax, y: Ay) L Xdx+Ydv- Xdx+Yd Xdx+ Yd >风彡 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取L=L1∪L2,只要 Δx,△y充分小,这是可行的。 这样以来,我们有 f(x+Ax,yAy)-f(x, y)=Xdx+Ydy y+Ay ∫x+=」x+j(+AxA =X(x+B△x,y)x+Y(x+△x,y+24y)y 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 对于任意一条起点 A 和终点 B 的逐段光滑有向闭曲线 L , 假定它们参数方程为 ( ) ( ) = = y y t x x t , ( t ) 并且 A = (x(), y()),B = (x(), y()). 则有 Xdx Ydy X x t y t x t Y x t y t y t dt L + = [ ( ( ), ( )) ( ) + ( ( ), ( )) ( )] = = − dt f (B) f (A). dt df 因此积分与路线无关. (3) (1) 在区域 D 中任意取定一点 0 0 M x y0 ( , ). 对于 D 中任意一点 M (x , y ), L 是 D 中以 M0 ,M 为起终点的中 任一光滑曲线: 定义 ( ) = + = + ( , ) , 0 0 0 ( ) M x y L M x y f M Xdx Ydy Xdx Ydy 由于积分与路线无关,所以函数 f 在 D 上是确定的. 下面证明对任意 M(x, y) D 有： f (x, y) = X x y i Y x y j ( , ,) + ( , ) . f (x + x, y + y) − f (x, y) = + − + + + ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 x y x y x x y y x y Xdx Ydy Xdx Ydy = ( ) ( ) + + + x x y y x y Xdx Ydy , , 由于积分与路线无关,可以按照如图方式取 L = L1 L2 , 只要 x,y 充分小，这是可行的。 这样以来,我们有 f (x + x, y + y) − f (x, y) = ( ) ( ) + + + x x y y x y Xdx Ydy , , = + L1 L2 Xdx Ydy = X (t y)dt Y(x x t)dt y y y x x x + + , + + , = X(x + x y)x +Y(x + x y + y)y 1 2 , , (x + x, y + y) L2 (x, y) L1
第五章向量分析 (x(x, y)+o1)Ax+(r(x,y)+o(D)Ay X(x, yAx+Y(x, y)Ay+o(0)Ax+oOAy 由可微的定义可知 引(xy)=x(x,y)-ay of(x,y) =Y(x, y) 定理证毕 原函数:当f(x,y)是Vf(x,y)=X(x,y,)+Y(x,y)时, 即:df(x,y)=X(x,y)h+Y(x,y)d是函数的全微分.这时 这时,我们称f(x,y)X(x,y)dx+Y(x,y)h的一个原函数 也称为的向量场F=X(x,y)i+Y(x,y)的一个势函数 表达式X(x,y)dx+Y(x,y)dh称为微分形式 容易证明:一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的,但是任 意两个势函数(或原函数)之间差一个常数 例5:设D是xy平面除掉原点得到的区域在D中,函数 f(x,y)=h√x2+y2 是向量场F(x,y y 的一个势函数.因此对于原点以外 的任意两点A(x,y),B(x2,y2)与任意一条以A为起点,以B为终点的 逐段光滑曲线L,有 F=「k+1=h+一x+ 单连通区域:平面区域D为单连通区域,是指D内任意一条简单 闭曲线所围之域仍在D内 例如,圆盘x2+y2<4是单连通区域,但是在其中除去一个点 所剩下的区域不是单连通区域 连通但非单连通的区域称为复连通区域 定理:设D为xy平面上的单连通区域, F=X(, y)i+y(x, y)j 是D上的连续可微向量场.则下列命题互相等价: (1).F=X(x,y)i+Y(x,y)j是有势场 (2).F=X(x,y)+Y(x,y)j满足可积性条件:即 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 = (X(x, y)+ o(1))x + (Y(x, y)+ o(1))y = X(x, y)x +Y(x, y)y + o(1)x + o(1)y 由可微的定义可知： f x y x X x y ( , ) = ( , ). ( , ). ( , ) Y x y y f x y = 定理证毕. ⚫ 原函数：当 f (x, y) 是 f (x y) X x y i Y x y j , = ( , ,) + ( , ) 时， 即： df (x, y) = X(x, y)dx +Y(x, y)dy 是函数的全微分. 这时， 这时,我们称 f (x, y) X(x, y)dx +Y(x, y)dy 的一个原函数. 也称为的向量场 F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 的一个势函数; 表达式 X(x, y)dx +Y(x, y)dy 称为微分形式. 容易证明：一个有势场的势函数(或原函数)不是唯一的, 但是任 意两个势函数(或原函数)之间差一个常数. 例 5: 设 D 是 xy 平面除掉原点得到的区域.在 D 中, 函数 f (x, y) = ln x +y 2 2 是向量场 2 2 ( , ) x y xi yj F x y + + = 的一个势函数. 因此对于原点以外 的任意两点 A(x1 , y ),B(x , y ) 1 2 2 与任意一条以 A 为起点,以 B 为终点的 逐段光滑曲线 L,有 ln ln . 2 1 2 1 2 2 2 2 F dl Xdx Ydy x y x y L L = + = + − + ⚫ 单连通区域：平面区域 D 为单连通区域, 是指 D 内任意一条简单 闭曲线所围之域仍在 D 内. 例如, 圆盘 x y 2 2 + 4 是单连通区域,但是在其中除去一个点, 所剩下的区域不是单连通区域. 连通但非单连通的区域称为复连通区域. ⚫ 定理: 设 D 为 xy 平面上的单连通区域, F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 是 D 上的连续可微向量场. 则下列命题互相等价: (1). F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 是有势场; (2). F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 满足可积性条件：即
第五章向量分析 y(x,y)∈DYSX Ox a 证明: →2由F=X(x,y)+Y(x,y)有势函数f(x,y),即 df(x, y)=X(x, y)dx+Y(x, y)ay 因为f(x,y)二阶连续可微,故有 a aa aa a 2→1:设L是D中任意一条逐段光滑的有向闭曲线 2→1:因为D是单连通区域,于是由 Green公式得到 f)+1=一b=0d=0 因此根据前边定理立即推出.F=X(x,y,)+Y(x,y)有单值势函 数.定理证毕 注:可积性条件:V(x,y)∈DybX 可以用另一种便于推广的、等价的简洁说法 向量函数F(x,y) 的 Jacobi矩阵 (Xx,) aY ar ay 是对称阵 5-2-3求向量场的势函数 如果微分形式X(x,y)dx+Y(x,y)dhy有原函数,也就是向量场 F=X(, y)i+Y(x, y)j 有势函数,反之亦然.这两者是是同一个问题 个微分形式X(x,y)dx+Y(x,y)dh有原函数,则称之为恰当微 分形式。判断微分形式是否是,根据的是可积性条件: v(x,y)∈D. 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 y X x Y x y D ( , ) , = . 证明: 12: 由 F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 有势函数 f (x, y),即 df (x, y) = X(x, y)dx +Y(x, y)dy. 因为 f (x, y) 二阶连续可微,故有 X y f y x f x y Y x = = = 2 2 . 21: 设 L 是 D 中任意一条逐段光滑的有向闭曲线. 21: 因为 D 是单连通区域,于是由 Green 公式得到 + = − = = L D D dxdy dxdy y X x Y Xdx Ydy ( ) 0 0. 因此根据前边定理立即推出. F X x y i Y x y j = ( , ,) + ( , ) 有单值势函 数. 定理证毕. 注：可积性条件： y X x Y x y D ( , ) , = 可以用另一种便于推广的、等价的简洁说法： 向量函数 = Y X F(x, y) 的 Jacobi 矩阵 ( ) ( ) ( ) = = y Y x Y y X x X x y X Y x y F , , , 是对称阵。 5-2-3 求向量场的势函数 如果微分形式 X(x, y)dx +Y(x, y)dy 有原函数,也就是向量场 F X x y i Y x y j = ( , ) + ( , ) 有势函数,反之亦然. 这两者是是同一个问题. 一个微分形式 X(x, y)dx +Y(x, y)dy 有原函数，则称之为恰当微 分形式。 判断微分形式是否是，根据的是可积性条件： ( , ) , , y X x Y x y D =
第五章向量分析 在条件成立时,如何求原函数呢?有三种方法 第一:特殊路径积分法:即: f(M)=+1=∫+地 第二:偏积分法:由于 df(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy, 即9y2=x(x)=()=x(xy+c( 再由 arx,y-o(x(, y)a dx+o 解出函数C(v) 第三:凑微分法 例6:求微分形式2xyx+3xyah的原函数. 解:首先要验证这个微分形式是否有原函数由 X(x, y)=2xy, Y(x,y)=3xy 在整个平面满足 因此,向量场F=2xy2i+3x2y2有势函数,即微分形式 2xyax+3xydy有原函数原函数f(x,y) 第一:特殊路径积分法:(x,、(xy ∫2xyd+3xy 由于积分于路线无关,选择下面的路线进行 由(0,0)出发,沿Ox轴上的有向线段L积分至点(x,0),然后沿竖 直线段L积分至点(x,y)于是 f(x,y)=2xy'dx+3x2y2dy=[3x2ydy=x'y f(x,y)+c也是原函数 第二:待积分法:f(x,y)=∫2xyk+3xy f 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 在条件成立时，如何求原函数呢？有三种方法： 第一：特殊路径积分法：即： ( ) = + = + ( , ) , 0 0 0 ( ) M x y L M x y f M Xdx Ydy Xdx Ydy 第二：偏积分法：由于 df (x, y) = X(x, y)dx +Y(x, y)dy , 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = + X x y f x y X x y dx C y x f x y , , , , , 再由 ( ) ( X(x y)dx C(y)) Y(x y) y y f x y , , , + = = , 解出函数 C(y). 第三：凑微分法 例 6: 求微分形式 2 3 3 2 2 xy dx + x y dy 的原函数. 解:首先要验证这个微分形式是否有原函数.由 X (x, y) = 2xy ,Y(x, y) = 3x y 3 2 2 在整个平面满足: X y xy Y x = 6 = 2 . 因 此 ， 向 量 场 F xy i x y j 3 2 2 = 2 + 3 有 势 函 数 , 即 微 分 形 式 2 3 3 2 2 xy dx + x y dy 有原函数原函数 f (x, y). 第一：特殊路径积分法: ( , ) : 2 3 . ( , ) (0,0) 3 2 3 = + x y f x y xy dx x y dy 由于积分于路线无关, 选择下面的路线进行: 由(0,0)出发,沿 ox 轴上的有向线段 L1 积分至点 (x,0) ,然后沿竖 直线段 L2 积分至点 (x, y).于是 2 2 3 0 3 2 2 2 ( , ) 2 3 3 1 2 f x y x y dx x y dy x y dy x y y L L = + = = + f (x, y) +c 也是原函数. 第二：待积分法: ( , ) : 2 3 . ( , ) (0,0) 3 2 3 = + x y f x y xy dx x y dy 3 2xy x f = f (x y) = x y dx + C(y) = x y + C(y) 3 2 3 , 2
第五章向量分析 3x2y3=2=3xy2+c()=C()=0=c=常数 第二:凑微分法 df(x, y)=2xy'dx+3x2y'dy 2xy'dx+3x'ydy=yd(x2)+xlv=d(x2y) f(x,y) 第五章向量分析
第五章 向量分析 第五章 向量分析 x y C (y) C (y) C y f x y = + = 3 = 3 0 2 3 2 2 =常数 f (x y) = x y +C 2 3 , 第二：凑微分法: df (x y) xy dx x y dy 3 2 3 , = 2 + 3 = ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2x y dx + 3x y dy = y d x + x d y = d x y 即: f (x y) = x y +C 2 3