第五章向量场的微积分 第五章向量分析 第十七讲曲线积分 课后作业 阅读:第五章第一节:曲线积分pp.142-151 预习:第五章第二节:Gren公式pp.152-158 作业:习题1:p.152:2;3;4;7;8;9;10. 补充题 计算下列第一类曲线积分: ()[(x+y)d其中C为以0002(0BQ.)为顶点的三角形的三条边 (x+y1)ul,其中C为星形线:x= cos't, y=asin't(02x) (3)(x2+y2+=2)d,其中C为螺线 X= r cost,y= rsin t,z=v0t(0≤t≤2π)。 (4x2d,其中C是球面x2+y2+2=R2与平面x+y+z=0的交线 求空间曲线:x=3,y=32,z=21,从O(0,0,0到A(3,3,2)的弧长 4.求圆柱面x2+y2=a2介于曲面z=a+与z=0间的面积a>0)。 5.求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)在t∈[0.π的弧段的重心假定质量分 布均匀) 5-1曲线积分 5-1-1第一型曲线积分的概念与计算 引言、背景 第一型曲线积分的定义 第一型曲线积分的计 5-1-2第二型曲线积分的概念与计算 引言、背景 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 5-1-3两型曲线积分的关系 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 1 第五章 向量分析 第十七讲 曲线积分 课后作业： 阅读：第五章 第一节: 曲线积分 pp. 142---151 预习：第五章 第二节: Green 公式 pp. 152---158 作业: 习题 1: p.152 : 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10. 补充题 1. 计算下列第一类曲线积分： (1) + C (x y)dl 其中 C 为以 0(0, 0), A(1, 0), B(0, 1)为顶点的三角形的三条边。 (2) + C (x y )dl 4 / 3 4 / 3 , 其中 C 为星形线：x=acos3 t, y=asin3 t (0t2) (3) + + C (x y z )dl 2 2 2 ，其中 C 为螺线 x = r cost, y = rsin t, z = v t ( t ) 0 0 2 。 (4) C x dl 2 ，其中 C 是球面 x y z R 2 2 2 2 + + = 与平面 x + y + z = 0 的交线。 2. 求空间曲线： 3 , 3 , 2 , 2 3 x = t y = t z = t 从O(0, 0, 0)到A(3, 3, 2) 的弧长; 4. 求圆柱面 x y a 2 2 2 + = 介于曲面 z a x a = + 2 与 z=0 间的面积(a>0)。 5. 求摆线 x=a(t－sint), y=a(1－cost)在 t[0, ]的弧段的重心(假定质量分 布均匀)。 5-1 曲线积分 5-1-1 第一型曲线积分的概念与计算 ⚫ 引言、背景 ⚫ 第一型曲线积分的定义 ⚫ 第一型曲线积分的计 5-1-2 第二型曲线积分的概念与计算 ⚫ 引言、背景 ⚫ 第二型曲线积分的定义 ⚫ 第二型曲线积分的计算 5-1-3 两型曲线积分的关系
第五章向量场的微积分 5-1-1第一型曲线积分的概念与计算 1)第一型曲线积分的概念 1-1定义:先看一个实例,然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例设有一个曲线(AB)状的物体。如果它的质量分布不均匀,其线密 度为p(xy,=),如何求它的总质量呢? 线状物体的质量对线段是可加的。因此,我们把曲线C(即AB)分 成n个小弧段,分点为=A,B1,…P,…P=B。每一个子弧段 P1P(其长度记作AMl1,i=1,2,…,n)的线密度可以近似看作不变的 常数,它近似等于弧段PP上任一点Q(5,n,5)处的线密度 p(F,n,s),于是子弧段P1P的质量△M可以近似地表示为: △M1≈D(1,n,M(i=1,2,…,m), 整条线状物体的质量为M≈∑(5,m,)△l 显然,当d=Max{△l}→0时,上述和式的极限值就是所求的M,即 M= m∑,n1) 上式中的和式极限叫做函数p(x,y,)在曲线C(即AB)上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义 定义:设R3中的一条曲线AB(记作C)是逐段光滑的,函数f(x,y,z) 定义在曲线C上,把C任意地分成n个子弧段P1P (B0=A,B,…P,…,Pn=B),其长度记为△l1,并在P1P上任取 点Q、5F,2,5),作黎曼和:∑f(5,n,5)△N1,再记d=Mmx{△} 如果d→0,和式的极限存在,则称其极限值为函数f(xy,=)在曲线C 第五章向量场的微积分 2
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 2 5-1-1 第一型曲线积分的概念与计算 1) 第一型曲线积分的概念 1-1 定义: 先看一个实例，然后再从中抽象出第一类曲线积分的定义。 例 设有一个曲线( AB )状的物体。 如果它的质量分布不均匀，其线密 度为 (x, y,z) ，如何求它的总质量呢？ 线状物体的质量对线段是可加的。因此，我们把曲线 C （即 AB ）分 成 n 个小弧段，分点为 P0 = A, P1 , ,Pi , ,Pn = B 。每一个子弧段 Pi−1Pi (其长度记作 i l , i =1, 2, …, n)的线密度可以近似看作不变的 常数，它近似等于弧段 Pi−1Pi 上任一点 ( ) Qi i i i , , 处的线密度 ( ) i i i , , ，于是子弧段 Pi−1Pi 的质量Mi 可以近似地表示为： ( , , ) (i =1, 2, , n) i i i i i M l ， 整条线状物体的质量为 = n i M i i i 1 i ( , , ) l . 显然，当 0 1 = → i i d Max l 时，上述和式的极限值就是所求的 M，即 = → = n i i i i d M 1 i 0 lim ( , , ) l 上式中的和式极限叫做函数 (x, y,z) 在曲线 C(即 AB )上的第一类 曲线积分。下面给出一般的定义。 定义: 设 3 R 中的一条曲线 AB (记作 C)是逐段光滑的，函数 f (x, y, z) 定义在曲线 C 上 ， 把 C 任 意 地 分 成 n 个 子 弧 段 Pi−1Pi ( P0 = A, P1 , ,Pi , ,Pn = B )，其长度记为 i l ，并在 Pi−1Pi 上任取一 点 ( ) Qi i i i , , ，作黎曼和： = n i i i i f 1 i ( , , ) l , 再记 i i d = Max l 1 ， 如果 d →0 ，和式的极限存在，则称其极限值为函数 f (x, y,z) 在曲线 C
第五章向量场的微积分 上第一类曲线积分,记作(x,yM或j(x,y:,即 ∫f(x,yM=m∑/(5,n,)AM 其中曲线C(即AB)称为积分路径,∫称为被积函数,f(xy,z称 为被积分式,d≥0称为曲线元素(或弧微分)。 如果C是R2中的一条平面曲线,f(x,y)是定义在C上的二元函数, 同样可以定义二元函数f(xy)在平面曲线C上的第一类曲线积分为 ∫f(x,y)l=lm∑/(5,m,5,)A 1-2第一型曲线积分的性质 ·存在性:上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数∫在曲 线C上分段连续 可加性 估值定理与中值定理 1-3第一型曲线积分的应用 几何上的应用:柱面面积。 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念,也容易写出空间曲线C关于三个坐标平 面的静力矩: M=xp(x, y, z)di Mar=yp(x,y, =)dl, M,==p(x,y, =)dl, 于是空间曲线C的重心(或质心)的坐标(x,y,为 我们也易得曲线C绕z轴转动的轴动惯量 J2=∫(x2+y)(xy 读者也不难写出曲线C绕x,y轴转动的转动惯量 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 3 上第一类曲线积分，记作 C f (x, y,z)dl 或 AB f x y z dl ( , , ) ，即 = → = n i i i i C d f x y z dl f 1 i 0 ( , , ) lim ( , , ) l . 其中曲线 C(即 AB )称为积分路径， f 称为被积函数， f (x, y,z)dl 称 为被积分式， dl 0 称为曲线元素(或弧微分)。 如果 C 是 2 R 中的一条平面曲线， f (x, y) 是定义在 C 上的二元函数， 同样可以定义二元函数 f (x, y) 在平面曲线 C 上的第一类曲线积分为 = → = n i i i i C d f x y dl f 1 i 0 ( , ) lim ( , , ) l . 1-2 第一型曲线积分的性质 ⚫ 存在性：上述和式极限存在的一个充分条件是被积函数 f 在曲 线 C 上分段连续。 ⚫ 可加性： ⚫ 估值定理与中值定理 1-3 第一型曲线积分的应用 ⚫ 几何上的应用：柱面面积。 ⚫ 物理方面的应用 如重心: 我们根据第一类曲线积分的概念，也容易写出空间曲线 C 关于三个坐标平 面的静力矩： = = = C xy C zx C yz M z x y z dl M y x y z dl M x x y z dl ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , 于是空间曲线 C 的重心（或质心）的坐标 (x, y,z) 为 M M z M M y M M x yz zx xy = , = , = . 我们也易得曲线 C 绕 z 轴转动的轴动惯量 = + C J z (x y ) (x, y,z)dl 2 2 ， 读者也不难写出曲线 C 绕 x, y 轴转动的转动惯量
第五章向量场的微积分 空间曲线积分的几何意义:当上式中的(x,y2)=1时,j1d表示 曲线C的长度。 平面曲线∫f(xy)的几何意义:表示由曲线C形成的柱面之面积 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质,我们不再一一列出,这里 只指出与路径有关的两条性质 (1)函数f(x,y,)在曲线AB和BA上的第一类曲线积分相等,即 「a/(x,y)-J/(xy)d 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2)如果曲线C由曲线C1与C2组成,则 J(x,y, =)d=/(x, y, =)d/+ /(x,y,=)dI 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立 2)第一类曲线积分的计算及其应用 x(1) 设曲线C(即AB)的参数方程为{y=uO)t∈ 二=z() 又设函数∫(x,y)在曲线C上连续,根据曲线C的弧长l的微分 d=√x(n)2+[y()2+z()2 再根据∫(x,y,z)在曲线C上的第一类曲线积分的定义,即得 JAex, ys 2dl = 对于第一类平面曲线积分,如果积分路径C以参数方程给出,也有与 空间曲线积分类似的结果;如果积分路径C的方程为y=y(x) x∈gb则函数f(x,y)在曲线C上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分,即Jf(xy)=./(xy(x)+b(x)h 如果曲线C的方程为参数方程 t∈,B≥a,则 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 4 空间曲线积分的几何意义：当上式中的 f (x, y,z) =1 时， C 1 dl 表示 曲线 C 的长度。 平面曲线 C f (x, y)dl 的几何意义：表示由曲线 C 形成的柱面之面积。 第一类曲线积分也有与定积分类似的性质，我们不再一一列出，这里 只指出与路径有关的两条性质。 (1) 函数 f (x, y,z) 在曲线 AB 和 BA 上的第一类曲线积分相等，即 = AB BA f (x, y,z)dl f (x, y,z)dl 此性质表示第一类曲线积分与积分路径的走向无关。 (2) 如果曲线 C 由曲线 C1 与 C2 组成，则 = + 1 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) C C C f x y z dl f x y z dl f x y z dl 这些性质对第一类平面曲线积分也都成立。 2) 第一类曲线积分的计算及其应用 设曲线 C(即 AB )的参数方程为 = = = ( ), ( ), t , ( ), z z t y y t x x t 又设函数 f (x, y,z) 在曲线 C 上连续，根据曲线 C 的弧长 l 的微分 dl x t y t z t dt 2 2 2 = [ ( )] +[ ( )] +[ ( )] ， 再根据 f (x, y,z) 在曲线 C 上的第一类曲线积分的定义，即得 f x y z dl f x t y t z t x t y t z t dt C 2 2 2 ( , , ) = ( ( ), ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )] +[ ( )] 对于第一类平面曲线积分，如果积分路径 C 以参数方程给出，也有与 空间曲线积分类似的结果；如果积分路径 C 的方程为 y = y(x) , xa,b ，则函数 f (x, y) 在曲线 C 上的第一类曲线积分可化为下面的定 积分，即 f x y dl f x y x y x dx a b C 2 ( , ) = ( , ( )) 1+[ ( )] 如果曲线 C 的方程为参数方程 ( ) ( ) = = ,t , , y y t x x t , 则
第五章向量场的微积分 Js(x, y)d=r(r(, y(VIr(+[x(vdr 例一,计算∫yld,其中C是单位圆的右半圆周,即 x2+y2=R2,(x≥0)。 解由曲线C的方程x2+y2=R2,得 y d=√+bp(x)r 于是[yd=「yld+「ydn R dx+lly -dx=2R 另一种解法:半圆周C的参数方程为 ∫x=Rcos y = Rsin e 于是d=V(Rsn0)+(Rcos2dO=Rd yd=CKmk⊥,2R(-m02M+,F如m COs 2R 例2计算「xyul,其中C是封闭路径OABO B xydl=xyd +xydl+xydl 其中xyzl=|0·ydl=0 xy ydy 此时dl=dy); X=x x.x v1+(2x)dx (C 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 5 f x y dl f x t y t x y yx y dt C 2 2 ( , ) = ( ( ), ( )) [ ( )] +[ ( )] 例一，计算 C | y | dl ，其中 C 是单位圆的右半圆周，即 x y R 2 2 2 + = , (x 0)。 解 由曲线 C 的方程 x y R 2 2 2 + = , 得 y x = − x y ，故 dx y R dx y x y dl y x dx | | 1 ( ) 2 2 2 2 = + = + = , 于是 = + B A C B A y dl y dl y dl 1 2 | | | | | | dx = 2R | y | R dx + | y | | y | R = | y | R 0 2 R 0 另一种解法：半圆周 C 的参数方程为 = = 2 , 2 - sin , cos , y R x R ， 于是 dl = (R ) + R d = Rd 2 2 sin ( cos ) 2 / 2 0 0 2 / 2 2 0 / 2 0 / 2 2 2 / 2 / 2 cos cos 2 | | sin ( sin ) sin R R R y dl R Rd R d R d C = − = = = − + − − − − 例 2 计算 C xydl ，其中 C 是封闭路径 OABO。 解 = + + C OA AB BO xydl xydl xydl xydl ， 其中 0 0; = = OA OA xydl y dl 2 1 1 1 0 = = xydl ydy AB (此时 dl = dy )； xydl x x x dx BO 2 1 0 2 = 1+ (2 ) ( C : = = 2 y x x x ) y B y=x2 0 A x
第五章向量场的微积分 =141+4 1-81 (1+4t)d- √+4 1+4n)52 5√51 (1+4t) √5 故xyl= x=rcos ot 例3计算螺线一段弧AB:{x= rsin ot,t∈p2](其,为 常数)绕z轴旋转的转动惯量(假定螺线质量均匀分布,线密度p=1) J=n(x2+y2Ml,其中,x2+y2=r2 dl=v(dx)+(dy)+(d)2=vr202+r2dt J2=[r2Vr2o2+v2=2m2Vr2o32+ 例4已知半圆圈C:x2+y2=r2,y≥0的质量分布不均匀 其线密度px,y)=x2+y,试求其重心(x,y) 解将C的方程表示为参数方程{=800Eb C的质量M为M=∫(x2+yM=(2cos2+ rino)rde 2 (丌r+4) 由对称性可知,叉=0,再由半圆圈C关于x轴的静力矩 f pla, y)dl- ]year'+y)al ucos Osin @+sin'e)de 即得=M2=3x+4 4 第五章向量场的微积分 6
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 6 ; 120 1 24 5 5 (1 4 ) 48 1 (1 4 ) 80 1 1 4 8 1 (1 4 ) 8 1 4 1 4 8 1 1 0 1 3/ 2 0 5 2 1 0 3/ 2 1 0 1 0 = + − + = + = + − + = + t t t dt tdt t tdt 故 120 61 24 5 5 = + C xydl . 例 3 计算螺线一段弧 AB : = = = z vt x r t x r t sin cos , t 0,2 (其中 r, v, 为 常数) 绕 z 轴旋转的转动惯量 (假定螺线质量均匀分布，线密度＝1)。 解 J x y dl AB z = ( + ) 2 2 ，其中, 2 2 2 x + y = r dl dx dy dz r v dt 2 2 2 2 2 2 = ( ) + ( ) + ( ) = + . 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 J r r v dt 2 r r v z = + = + . 例 4 已知半圆圈 C： 2 2 2 x + y = r , y 0 的质量分布不均匀， 其线密度 (x y) = x + y 2 , ，试求其重心 (x, y)。 解 将 C 的方程表示为参数方程 0, sin , cos , = = y R x R , C 的质量 M 为 ( ) ( cos sin ) 0 2 2 2 = + = + M x y dl r r rd C ( r + 4) 2 r 2 = 2 2 1 = r r 2 2 2 + 由对称性可知， x =0，再由半圆圈 C 关于 x 轴的静力矩： (3 4 ), 2 2 6 1 cos 2 3 = r ( , ) ( ) ( cos sin sin ) 3 0 3 3 2 2 0 2 3 r r r M y x y dl y x y dl r r d C C x = + − + = = + + 即得 r + 4 3 + 4r 3 r M M y x = =
第五章向量场的微积分 5-1-2第二型曲线积分的概念与计算 2-1定义 ()引言:从数学上看,物理学中的场( field),就是定义在三维空 间和时间上的多元数量和向量函数 ∫:Ω→>R(稳态数量场),F:Ω→>R″(稳态向量场); 或f:g×T→R(动态数量场),F:Ω×T→>Rm(动态数量场) 其中,Ω是某空间域,T时间域 例如静电荷产生的静电场,运动电荷产生的磁场,引力场以及热 源产生的温度场等。这里就涉及到作功,能量,流量,源,通量,场 强等许多物理或力学量以及它们之间的关系,这些正是本章的实际背 (二)定义 有向曲线,与弧微分向量 设L是连续曲线,规定起点A,终点B, 称为一条有向曲线( oriented curve),通 常,平面曲线用: y=y1)或() x() 空间曲线用 L:{y=y0),或严(0)=y()表示 =( 这里,x=x()2y=y(1),==(1),(a≤t≤B是三个连续可微函数, 并且满足条件:x()2+y()2+z(1)2>0 这样的曲线称为光滑曲线( smooth curve) 对于这种曲线相应的弧微分向量为: 平面曲线弧微分向量定义为:dl=dlv0, 其中,dl是曲线在一点的弧微分;是其单位切向量 d xi td 由于:to= 所以有 (dx)+(dy d=d=(4)=(x(0) 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 7 5-1-2 第二型曲线积分的概念与计算 2-1 定义 (一) 引言: 从数学上看, 物理学中的场(field), 就是定义在三维空 间和时间上的多元数量和向量函数: f : → R (稳态数量场), m F : → R (稳态向量场); 或 f : T → R (动态数量场), m F : T → R (动态数量场). 其中， 是某空间域, T 时间域 例如静 电荷产生的静电场，运动电荷产生的磁场，引力场以及热 源产生的温度场等。这里就涉及到作功，能量，流量，源，通量，场 强等许多物理或力学量以及它们之间的关系，这些正是本章的实际背 景。 (二) 定义 ⚫ 有向曲线, 与弧微分向量 设 L 是连续曲线, 规定起点 A, 终点 B, 称为一条有向曲线(oriented curve), 通 常,平面曲线用: ( ) ( ) = = y y t x x t L : , 或 ( ) ( ) ( ) = y t x t r t 表示; 空间曲线用 ( ) ( ) ( ) = = = z z t y y t x x t L : , 或 ( ) ( ) ( ) ( ) = z t y t x t r t 表示. 这里， x = x(t), y = y(t),z = z(t),( t ) 是三个连续可微函数, 并且满足条件: ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 x t +y t +z t . 这样的曲线称为光滑曲线(smooth curve). 对于这种曲线相应的弧微分向量为： 平面曲线弧微分向量定义为: 0 dl = dl , 其中, dl 是曲线在一点的弧微分； 0 是其单位切向量. 由于： ( ) ( ) 2 2 0 dx dy dxi dy j + + = = , 所以有： ( ) ( ) dt y t x t dy dx dl dl = = 0 = B L A
第五章向量场的微积分 同样,对于空间曲线弧微分向量 d=dITo=d dy=y(dr d 以上表明:参数t增长的方面决定了曲线方向因此为讨论方便,取曲线 的参数方程时,最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向. 背景: 例力场:F(x,y,=)=X(x,y,=)+Y(x,y,z)j+Z(x,y片k 中单位质量沿有向光滑曲线L,自点A至B.求力F所作的功 在P(x,y,=),质点沿小段曲线M前 进时,力F所作功 B △w≈F·M=XAx+YAy+ZAz 于是质点从A至B,力F所作的功等于 W=m∑F(P)△(P) =分((P)x1+Y(P)y+Z(P) 「F(P)d-「k+b+2t 有此背景,很自然地引入第二型曲线积分的概念 X(x,y,=) 定义:设F:cR3→R3,且F(xy=)=Y(xy,=),L是 z(x,y,=) 2内一条有向光滑曲线首先任分L为n小段,第p段有向弧记 作 =(△x.△y )再在A上任取 P(x。yn2,zn),若积分和式的极限 ln∑F(P)△=lm∑x(Pkxn+y(Pyn+2(p 存在,则称之为F沿有向曲线L的第二型(对坐标的)曲线积分,记成 如∑和()MF)团=+动+ 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 8 同样，对于空间曲线弧微分向量: ( ) ( ) ( ) dt z t y t x t dz dy dx dl dl dl = = 0 = 以上表明：参数 t 增长的方面决定了曲线方向.因此为讨论方便,取曲线 的参数方程时, 最好使参数增长方向与正好是你希望的曲线方向. ⚫ 背景： 例 力场: F(x, y,z) = X (x, y,z)i + Y(x, y,z) j + Z(x, y,z)k 中单位质量沿有向光滑曲线 L , 自点 A 至 B. 求力 F 所作的功. 在 P(x, y,z) , 质点沿小段曲线 l 前 进时, 力 F 所作功 w F l = Xx + Yy + Zz 于是质点从 A 至 B, 力 F 所作的功等于 ( ) = → = n i i Pi W F P l 1 0 lim ( ) = = → + + n i i i i i i i X P x Y P y Z P z 1 0 lim ( ) ( ) ( ) = ( ) = + + L L F P dl Xdx Ydy Zdz ; 有此背景, 很自然地引入第二型曲线积分的概念. ⚫ 定义:设 3 3 F : R → R ,且 = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) Z x y z Y x y z X x y z F x y z , L 是 内一条有向光滑曲线. 首先任分 L 为 n 小段，第 p 段有向弧记 作 : ( ) T p p p p l = x y z 再 在 l 上 任 取 一 点 ( ) p p p p P x ,y ,z , 若积分和式的极限: ( ) ( ) ( ) ( ) = → = → = + + n p p p p p p p p n p p F P l X P x Y P y Z P z 1 0 1 0 lim lim 存在，则称之为 F 沿有向曲线 L 的第二型(对坐标的)曲线积分，记成 ( ) ( ) = = + + = → L L p n p F Pp l F x y z dl Xdx Ydy Zdz lim , , 1 0 B L A
第五章向量场的微积分 显然,质点沿有向曲线L运动时,力场F所作的功就是F在L上 的积分 注意:(1)被积函数F取值在曲线L上 (2)dx,d,d是有向弧微分dl分别在坐标轴上的三个投 影,它们是可正可负的; (3)第二型积分通常都是这种组合积分形式出现 (三)性质 存在性 可加性 第二型曲线积分的有向性,若一L是方向与L相反的有向曲 线,则由定义可知:F:d=-Fd 这是因为的单位切向量与L的单位切向量方向相反 2-2第二型曲线积分的计算 x=x( dx(x'(di 若曲线L A=(x(n)y(t)-(t) 1B=(x()y)=() dl=dy=y( d 「F(xy)-x()()+ +Y(x()y(x()b+z(x()y()() 例1:计算曲线积分∫Fd,F其中 F(x,y, =)=yi-xj+(x+y+=k L是由A(a,0,0)到B(a,0,c)的线段; L是空间螺线{y=aSmt,0≤t≤2n;它的起终点也是A和B =c/2z 解:对于L:{y()=0,A=A(0儿-0,B=B()L 「Fd=+y+zM=a+aM=+2 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 9 显然，质点沿有向曲线 L 运动时, 力场 F 所作的功就是 F 在 L 上 的积分. 注意：(1) 被积函数 F 取值在曲线 L 上； (2) dx,dy,dz 是有向弧微分 dl 分别在坐标轴上的三个投 影，它们是可正可负的； (3) 第二型积分通常都是这种组合积分形式出现。 (三) 性质: ⚫ 存在性 ⚫ 可加性 ⚫ 第二型曲线积分的有向性, 若 − L 是方向与 L 相反的有向曲 线，则由定义可知： = − −L L F dl F dl . 这是因为的单位切向量与 L 的单位切向量方向相反. 2-2 第二型曲线积分的计算 若曲线 ( ) ( ) ( ) = = = z z t y y t x x t L : , ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) = = b b b a a a B x t y t z t A x t y t z t , , , , , ( ) ( ) ( ) = = z t dt y t dt x t dt dz dy dx dl ( ) L F x y z dl , , = ( ( ) ( ) ( )) + b a t t X x t , y t ,z t dx +Y(x(t), y(t),z(t))dy + Z(x(t), y(t),z(t))dz 例 1:计算曲线积分 1 2 , L L F dl F dl . 其中 F(x y z) yi xj x y z k , , = − + ( + + ) . L1 是由 A(a,0,0) 到 B(a,0,c) 的线段; L2 是空间螺线 , 0 2 2 = = = t z ct y aSin t x aCost ;它的起终点也是 A 和 B. 解: 对于 L1 : ( ) ( ) ( ) = = = z t ct y t x t a 0 , ( ) ( ) 0 1 | , | = t= = t= A A t B B t . 2 1 ( ) ( ) 2 1 0 1 0 1 dt a ct dt ac c L F dl Xx Yy Zz = + + = + = +
第五章向量场的微积分 x= aCost 对于L:{y=aSm,tEp2r]A=A()L-,B=B() 二=ct/2丌 ∫F:d=jx()x(+()y()+z()()t r-a' cost acost+acost+ ct-c ldr = (c oSt +sn t)+ 例2:计算第二型曲线积分 ∫(x2-2x)k+( 其中L为xy平面上以点(-1,1),(1,-1)和 (1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正 Lt 解:如图所示,将L分成L1,L2,LA L (x -2xy)dx+("-2xy)dy 2 xy L x=t 从t=-1到t=1,则 ∫(x2-2xy)k+(2-2xy)h=j(r2-y2)=0 L 2 y 因此 J(x-2xy)dx(y-2xy)dy=(x'-2xy)dx+(2-2xy)dy=0 L1+l2+l3 例3:假定在R中每点(x,y,2)的电场强度为 E(x,y,=)=(y-2) )j+(x2-y2)k 第五章向量场的微积分
第五章 向量场的微积分 第五章 向量场的微积分 10 对于 L1 : , 0,2 2 = = = t z ct y aSint x aCost , ( ) ( ) 0 2 | , | = t= = t= A A t B B t ( ) Y(t)y t Z(t)z t dt L F dl [X t x (t) ( ) ( )] 2 2 0 = + + = − − + + + 2 0 2 2 2 2 sin cos cos cos dt ct c a t a t a t a t = 2 . 2 ] 4 (cos sin ) 2 [ 2 2 2 2 2 0 2 a c dt c t t t ac a − + + + = − 例 2:计算第二型曲线积分 ( 2 ) ( 2 ) . 2 2 x xy dx y xy dy L − + − 其中 L 为 xy 平面上以点(-1,1), (1,-1)和 (1,1)为顶点的三角形周边,逆时针方向为正. 解:如图所示,将 L 分成 L1 , L2 , L3 . L1 : = = y y x 1 , − − + − = − = L x x y dx y x y dy y x y dy 1 1 1 2 2 2 . 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) L2 : = − = y t x t , 从 t = −1 到 t =1, 则 ( 2 ) ( 2 ) (3 3 ) 0. 1 1 2 2 2 2 2 − + − = − = − x x y dx y x y dy t t dt L L3 : = = y 1 x x , . 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 1 1 2 2 2 − + − = − = − − L x x y dx y x y dy x x dx 因此 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 1 2 3 2 2 2 2 − + − = − + − = L L +L +L x x y dx y x y dy x x y dx y x y dy . 例 3:假定在 3 R 中每点 (x, y,z) 的电场强度为 ( , , ) ( ) ) ( ) . 2 2 2 2 2 2 E x y z y z i z x j x y k = − + − + − y L3 1 L2 L1 -1 1 x