第五章不定积分 第五章不定积分 CThe indefinite integration 第十三讲积分方法及“可积”函数类 课后作业: 阅读:第五章56:pp.143-149;5.7:pp.151-155 预习:第六章61:pp.158-159;6.2:pp.159-166 练习pp.137-132:习题56:1,2,3,4,5中的单号题 作业pp137-132:习题56:1,2,3,4,5中的双号题 pp155-157:习题5.7:2;5;7;11:14;16;22;24;25;29; 41:45;49;53;56;58:;63 56有理函数的积分 5-6-1最简分式的积分 设P(x,Q(x)为多项式则分式Px) 称为有理式任意有理式 都都能表示成最简分式和,所谓最简分式是: (a≠0);(2) (a≠0,n>1) Ax+ B (b2-4ac0) +bx 这些函数的不定积分总有有限形式。 例9形如∫ 的积分 x+ax+b (1)如果a2>4b,则x2+ax+b有两个相异实根p,q,这时 d x'+ax+b.x-p +Bhnlx-g+c (2)如果a2=4b,则x2+ax+b有重根P,这时 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 第五章 不定积分 (The indefinite integration ) 第十三讲 积分方法及“可积”函数类 课后作业： 阅读：第五章 5.6: pp. 143---149; 5.7:pp.151--155 预习：第六章 6.1: pp. 158---159; 6.2: pp.159--166 练习 pp.137---132: 习题 5.6: 1, 2, 3, 4, 5 中的单号题. 作业 pp.137---132: 习题 5.6: 1, 2, 3, 4, 5 中的双号题. pp.155---157: 习题 5.7: 2; 5; 7; 11; 14; 16; 22; 24; 25; 29; 35; 41; 45; 49; 53; 56; 58; 63.. 5-6 有理函数的积分 5-6-1 最简分式的积分 设 P(x),Q(x) 为多项式,则分式 ( ) ( ) Q x P x 称为有理式. 任意有理式 都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是： (1) ( 0) + a ax b A ; (2) ( ) ( 0, 1) + a n ax b A n ; (3) ( 4 0) 2 2 − + + + b ac ax bx c Ax B ; (4) ( ) ( 4 0, 0) 2 2 − + + + b ac n ax bx c Ax B n . 这些函数的不定积分总有有限形式。 例 9. :形如 x + ax + b dx 2 的积分 (1) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 有两个相异实根 p,q ,这时 x + ax + b dx 2 − + − = dx x q B dx x p A = Aln x − p + Bln x − q + c (2) 如果 a 4b 2 = ,则 x + ax + b 2 有重根 p ,这时
第五章不定积分 x+ax+b(x-p)2(x-p) (3)如果a2<4b,则x2+ax+b没有实根此时 d(x+ p)x x +ax b(x+p)2+q2(x+p)2+q d(x+p)x Arctan xt p+c 例10:形如 Ax+ B dx的积分(A≠0),首先将积分改写成 x +ax+b 2B 2x+a 2Jxi+ax+b x2tax tb Jdx 其中第一个积分为 x+a dx=h(x+ax+b) x+ax+b 第二个积分 (-a)∫ x+ax+ 例12形如十4x+的积分首先将积分改写成 +Ax+B x+ax+6(a-a)x+(B-b x+ax+b x+ax+b x+ax+b (A-a)x+(B-b) b 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解 例13求 5+4x+x2 x+2 dx=[ 5+4x+x 5+4x+x25+4x+x 1d5+4x+x)-2(x+2) 1+(x+2) In(x+4x+5)-2 arctan( x+2)+c 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 x + ax + b dx 2 − = 2 (x p) dx = ( ) c x p + − −1 (3) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 没有实根,此时 x + ax + b dx 2 + + + = + + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x p q d x p x x p q dx = c q x p x p q q d x p x + + = + + + arctan 1 ( ) ( ) 2 2 例 10: 形如 + + + dx x ax b Ax B 2 的积分( A 0 ),首先将积分改写成 + + − + + + + dx x ax b a A B x ax b A x a ] 2 2 [ 2 2 2 其中第一个积分为 ln( ) 2 2 2 dx x ax b x ax b x a = + + + + + 第二个积分 + + − x ax b dx a A B 2 ) 2 ( 例 12: 形如 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 的积分,首先将积分改写成 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 = + + − + − + + + + + dx x ax b A a x B b x ax b x ax b ] ( ) ( ) [ 2 2 2 + + − + − = + dx x ax b A a x B b ] ( ) ( ) [1 2 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解. 例 13:求 + + dx x x x 2 5 4 解: + + dx x x x 2 5 4 dx x x x x x + + − + + + = ] 5 4 2 5 4 2 [ 2 2 + + + − + + + + = 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 2 5 4 (5 4 ) 2 1 x d x x x d x x = ln( x + 4x + 5) − 2arctan( x + 2) + c 2 1 2
第五章不定积分 d x 例14:求∫ (x+ d(xo) +1)2x1(x20+1) 于x 10(x"(x0+1)(x0+1)2 =+ +c 10x10+1x10+1 5-6-2有理函数的积分 般有理分式P(x)的积分做法是:先用代数方法将P(x)化成最 简分式之和,再运用己有公式求之。从这里可知 有理分式函数总有有限形式的原函数,而且其原函数只可能包括以下 三类函数:有理分式函数,对数函数,反正切函数 例14:求 解1+1区+2+x3+2-x3+) Dx+e √3 通分后比较分子,得恒等式: 14(x+-x2+1)+(Bx+cx2+1)x2-x3+ +(Dx+E +xy3+ 比较的同等幂系数,得五个关于系数的线性方程,解之而得: A=C=E 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 例 14: 求 + 10 2 x(x 1) dx 解: + 10 2 x(x 1) dx = ( ) + = + 10 10 2 10 10 10 2 9 10 ( 1) 1 ( 1) x x d x x x x dx = ( ) ( ) + − + = + + − 10 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 ( 1) ( 1) 10 1 d x x x x d x x x x x = ( ) + − + + − 10 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 d x x x x x x = ( ) + − + − 10 10 10 10 2 ( 1) 1 1 1 1 10 1 d x x x x = c x x x x + + + + ) 1 1 (ln 10 1 10 10 10 10 5-6-2 有理函数的积分 一般有理分式 ( ) ( ) Q x P x 的积分做法是：先用代数方法将 ( ) ( ) Q x P x 化成最 简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知： 有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下 三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。 例 14: 求 +1 6 x dx 解 1: ( 1)( 3 1)( 3 1) 1 1 1 6 2 2 2 + + + − + = x + x x x x x = = 1 3 1 3 1 2 2 2 − + + + + + + + + x x Dx E x x Bx C x A . 通分后比较分子，得恒等式： 1 ( − +1)+ ( + )( +1)( − 3 +1)+ 4 2 2 2 A x x Bx C x x x ( )( 1)( 3 1) 2 2 + Dx + E x + x + x + ; 比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得： 6 3 , 3 1 A = C = E = B = −D = ;
第五章不定积分 x+ 1√3x+2 2x+3+1/2 6x2+x3+162x2+x√3+1 6 3+162 --arctg x+-arct in 43x2-x√3 解2:d=1rx+1--=1rx+1-1x-d 3+于g=) =arct x+arct(x)+ 4√3"x2-x3 其中: (2-1)(-x2k_d(x+ x4-x2+1Jx2-1+x2 # 2√3|x+x-+√3 2√31x+x√3+1e +c=-In 解3: d x 1(2-2k +1 1o1(2+1)+(2-)a+1(2+1)-(x2-h wg-址 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 3 1 3 1 6 3 3 1 3 1 6 3 1 3 1 1 1 6 2 2 2 − + − + + + + + + + = + x x x x x x x x . ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 + + + + = + + + x x x x x x ; ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 − + − − − = − + − − x x x x x x ; +1 6 x dx = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 ; 解 2: +1 6 x dx = ( ) + − − + + = + + − − dx x x dx x x dx x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 6 4 6 4 6 4 4 = ( ) ( )( ) + + − − + + − + dx x x x dx x x x x 1 1 1 2 1 1 1 2 1 6 2 2 6 2 4 2 = ( ) − + − − + + + 1 1 2 1 1 1 4 2 2 6 2 2 x x x dx x dx x x dx = = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 . 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) + − + = − + − = − + − − − − − 1 3 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = c x x x x + + + + − − − 3 3 ln 2 3 1 1 1 = c x x x x + + + − + 3 1 3 1 ln 2 3 1 2 2 解 3: ( ) 1 2 3 1 1 3 1 1 1 4 2 2 6 2 − + − − + = + x x x x x +1 6 x dx = ( ) − + − − + 1 2 3 1 3 1 1 4 2 2 2 x x x dx x dx = = ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − − + − + + + − − dx x x x x dx x x x x arctgx 1 1 1 3 1 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 2 4 2 2 2 = ( ) ( ) − + − − − + + + 1 1 2 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 4 2 2 x x x dx x x x dx arctgx
第五章不定积分 3 rcgx6cgx43x2-x3+1c 其中 (x2+1)(+x2)k_d(x=x2) arctglx-x)+c=arct/t2-1 <+ 1 X Log g 1 Log 1 Log x 2-72 Cos Log 1 2 x cos Log 1 x 2 x Cos 72747474 COs og 1 x 2 x Cos ArcTan x COS CsC Sin Arctan x Cos CSC Sin 7 7 7 Arctan x COS CsC Sin- 7 57其他可积成有限形式的函数类 5-7-1三角有理式的积分 由snx和cosx经有限次四则运算得到的函数,记作 R( (sin x, cosx)称为三角有理式,三角有理函数的积分 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 = c x x x x x x arctgx arctg + − + + + + − + 3 1 3 1 ln 4 3 1 1 6 1 3 1 2 2 2 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) − + − = − + + = − + + − − − − 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = arc tg(x − x )+ c −1 = c x x arc tg + −1 2 ⚫ 1 x x 7 x 8 x 1 x7 x x Log x 2 7 Log 1 x 7 ⚫ 1 x x 7 x 8 x 1 x7 x x 2 7 Log 1 x Log x 2 7 Cos 7 Log 1 x 2 2 x Cos 7 2 7 Cos 3 7 Log 1 x 2 2 x Cos 3 7 2 7 Cos 5 7 Log 1 x 2 2 x Cos 5 7 4 7 ArcTan x Cos 7 Csc 7 Sin 7 4 7 ArcTan x Cos 3 7 Csc 3 7 Sin 3 7 4 7 ArcTan x Cos 5 7 Csc 5 7 Sin 5 7 5-7 其他可积成有限形式的函数类 5-7-1 三角有理式的积分 由 sin x 和cos x 经有限次四则运算得到的函数, 记作 R(sin x, cos x) 称为三角有理式, 三角有理函数的积分
第五章不定积分 R(sin x, cos x dx 借助于万能变换: t= ta x SIn x COSx= dx 1+t 1+t2 1+ 可以其变为t的有理函数积分 in x, cos x)dx=Ro dt 1+t21+t2/1+t 求出这个积分F(1)+c之后,用x=2 arctan t代入就求出结果 对于∫R(sm2xcos2xlt d 可用u=tanx,snx 1+l ∫sm2xox)t-jk 2t1-t21 1+t21+t21+t2 但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算在求三角有理 式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化最后 求得结果 B] 15: *k sin mxsin ndx, cos mx cos ndx, sin mx cos nxdx 解:「 sin mxsin nxdx-cos(m+n)x-cos(m-n)xdr sin( m-n)x- sin( m+n)x+c 相同的方法可以得到 ∫ cos mxcosnxdx sin( m-n)x+-sin(m+n)x]+c 2 m-n m+n sin mx cos nxdx= cos(m-n)x+ cos(m+n)x]+ m-n m+n 例17求∫ 1+sin x+cos x 1+sin x+cosx 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 R(sin x, cos x)dx 借助于万能变换: 2 tan x t = , 2 2 2 2 1 2 1 1 ,cos 1 2 sin t dt dx t t x t t x + = + − = + = ； 可以其变为 t 的有理函数积分 R(sin x, cos x)dx = + + − + dt t t t t t R 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 , 1 2 ( . 求出这个积分 F(t) + c 之后, 用 x = 2arctan t 代入就求出结果. 对于 R(sin x, cos x)dx 2 2 可用 u = tan x , 2 2 2 2 1 1 1 ,cos 1 2 sin u d u dx u u x u u x + = + − = + = ； R(sin x, cos x)dx 2 2 = + + − + du u u u u u R 2 2 2 2 1 1 ) 1 1 , 1 2 ( 但是,一些常见的、简单的情形不需要这样的繁琐运算.在求三角有理 式积分时,最常用的方法是用三角恒等时对本积函数进行变形简化,最后 求得结果. 例 15:求 sin mxsin nxdx , cos mxcos nxdx , sin mxcos nxdx 解: mx nxdx − [cos(m + n)x − cos(m − n)x]dx 2 1 sin sin m n x c m n m n x m n + + + − − − = sin( ) ] 1 sin( ) 1 [ 2 1 相同的方法可以得到 cosmxcos nxdx= = m n x c m n m n x m n + + + − + − sin( ) ] 1 sin( ) 1 [ 2 1 = sin mxcos nxdx = m n x c m n m n x m n + + + − + − − cos( ) ] 1 cos( ) 1 [ 2 1 例 17:求 + x + x dx 1 sin cos 解: + x + x dx 1 sin cos =
第五章不定积分 dx 2sin-COS-t2c0sr d(tan+1) tan -+1 例17:求 解:方法1:/1 -dx (sinx+ cos x) tanxd tan x+2 tan x-cot x tan x+2 tan x-cotx+c 方法2 一 -dx= sin 2 x cos 4 x -d tan x tan x cos x anx+2 taI =-tan'x+2 tan x-cotx+c 例18:求m dx的递推公式(m≥2正整数) 解:求递推公式一般用分部积分法 sin"+r+(m+D/cos cos x dx 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 dx x x x x x dx + = + = 1 2 tan 2 sec 2 1 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 2 c x x x d = + + + + = | 2 ln |1 tan 1 2 tan 1) 2 (tan 例 17: 求 dx x x 2 4 sin cos 1 解: 方法 1: dx x x 2 4 sin cos 1 = = dx x x x x + 2 4 2 2 2 sin cos (sin cos ) = dx x x x x + + 4 2 2 2 sin 1 cos 2 cos sin = tan x d tan x + 2 tan x − cot x 2 = tan x + 2 tan x − cot x + c 3 1 3 方法 2: dx x x 2 4 sin cos 1 = = dx x x 2 6 tan cos 1 d x x x tan tan sec 2 4 = d x x x x tan tan tan 2 tan 1 2 4 2 + + = = tan x + 2 tan x − cot x + c 3 1 3 例 18: 求 dx x I m m = sin 1 的递推公式( m 2 正整数) 解: 求递推公式一般用分部积分法 + + = = − x d x dx x x I m m 1 m 1 sin cos sin sin dx x x m x x m+ m+ = − + + 2 2 1 sin cos ( 1) sin cos
第五章不定积分 sin+2x +(m+1) sIn x COS x (m+1)/m+2-(m+1)lm 所以 COS x 将m+2换成m,就得到 Cos x (m-1) 5-7-2简单根式的积分 解决这个问题的基本思路是,利用变量置换使其“有理化”。 如:「R(Vax2+bx+ca 这只要去掉根号就行: 若b2-4ac>0,则ax2+bx+c=a(l2-a2) 若b-4ac<0,则ax2+bx+c=a(u2+a2) 「R(√ax2+b+c)-R(sm1:s) 这均可以利用三角变换将其化成三角有理式的积分问题。 又如:∫R(√ax+b,x+d)d,(a≠0) 先令2=ax+b,x b a cu-cb+ ad Cx+d= R(√ax+b,√ax+d)d=R(n,、n2+a)2m 这样就化成只含二次三项式根式的形式 若c=0则作一次变换就行了 这种变换成有理式的思路可以用于许多函数类: du 再如:对」R(e)x,可令l=e2,x=hna,d=u 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 dx x dx m x m x x m m m = − − + + + + + sin 1 ( 1) sin 1 ( 1) sin cos 1 2 m m m m I m I x x ( 1) ( 1) sin cos = − 1 − + +2 − + + 所以 m m m I m m m x x I ( 1)sin 1 cos 2 1 + + + = − + + , 将 m+ 2 换成 m,就得到 1 2 1 2 ( 1)sin cos − − − − + − m = − m m I m m m x x I 5-7-2 简单根式的积分 解决这个问题的基本思路是，利用变量置换使其“有理化”。 如： R( ax + bx + c )dx 2 这只要去掉根号就行： 若 4 0 2 b − ac , 则 ( ) 2 2 2 ax + bx + c = a u − 若 4 0 2 b − ac , 则 ( ) 2 2 2 ax + bx + c = a u + R( ax + bx + c )dx 2 = R(sin t , cost )dt 这均可以利用三角变换将其化成三角有理式的积分问题。 又如： R( ax + b , cx + d )dx , (a 0) 先令 u = ax + b 2 , a u b x − = 2 , a udu dx 2 = cu d a cu cb ad cx d = + − + + = 2 2 R( ax + b , cx + d )dx = + a udu R u cu d 2 ( , ) 2 , 这样就化成只含二次三项式根式的形式。 若 c = 0 则作一次变换就行了。 这种变换成有理式的思路可以用于许多函数类： 再如：对 R e dx x ( ) , 可令 x u = e , x = ln u , u du dx =
第五章不定积分 du__ r(u) 当然,在做具体题目时,一定要具体分析,不能完全套用类型 例19,∫ x2+x+1 x2-1+x+2 2 -1+X =-arcSin-- 2x +ardara C x3√x2-1 2x-6 =一aC一 对*第二个积分:令u=1-x-2 2 2 对*第三个积分:令 dudu - actg utc +arco -7-3不能积成有限形式的积分 在某个区间连续的函数(在这个区间上)一定有原函数但是,在初等 函数中,只有很少的一部分函数存在初等原函数大多数初等函数的原函 数虽然存在但是却不是初等函数例如下列函数的原函数都不是初等函 数 d x dx 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 R e dx x ( ) = u du R(u ) = du u R(u ) 。 当然，在做具体题目时，一定要具体分析，不能完全套用类型。 例 19, ( ) dx x x x x − + + 3 2 2 1 1 = ( ) dx x x x x − − + + 3 2 2 1 1 2 = = ( ) ( ) dx x x x x x − + − + − 3 2 3 2 2 1 2 1 1 1 1 *= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) − + − − − − − − − − − − − 3 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 x x d x x d x x d x = x arcSin 1 − 3 1 2 2 − − x x arcfg( x ) c x + + − − + 1 1 1 2 2 2 = x arcSin 1 − 3 1 2 6 2 − − − x x + 2arcfg( x −1)+ c 2 对*第二个积分：令 2 1 − u = − x , ( ) ( ) ( ) c x x c u u du x d x + − = − = + = − − − − 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2 对*第三个积分：令 1 2 u = x − , ( ) ( )( ) ( ) ( ) + + − = + = − + − − du u u u u u u udu x x d x 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 = + − 2 2 1 2 u du u du = − + − arctg u c u 1 2 = arcfg( x ) c x + + − − − 1 1 1 2 2 2 5-7-3 不能积成有限形式的积分 在某个区间连续的函数(在这个区间上)一定有原函数.但是,在初等 函数中,只有很少的一部分函数存在初等原函数.大多数初等函数的原函 数虽然存在,但是却不是初等函数.例如下列函数的原函数都不是初等函 数: − e dx x 2 , e dx x 2 , dx x sin x , dx ln x 1 , − x dx 2 sin 2 1 1
第五章不定积分 般情形下,∫√高于二次的多项式d不是初等函数 第五章不定积分
第五章 不定积分 第五章 不定积分 一般情形下， dx 高于二次的多项式 不是初等函数
