·1236· 工程科学学报，第38卷，第9期 w- ∑B,p(x)=邺. (8) 基于非支配排序的带有精英策略的多目标优化算法 (NSGA-I)对C和σ进行优化计算，从而得到最终的 将式(3)中的ω用式(8)替换得 NSGAII--R-S-LS-SVR的模型. 0Fg.6d=(g ‖e,I2+(邱)T(邱) 3.1模型精度多目标评价 s.L.y=(β)p(x:)+b+e,i=1,2,…,r 参数遗传优化的首要任务是构建性能指标作为适 应度函数。常见的建模性能指标大多采用均方根误差 (9) 2.3鲁棒改进 (RMSE),未从整体上考虑模型输出曲线与实际曲线 的接近程度和动态趋势.实际上，准确的变化趋势对 为了提高上述稀疏化LS-SVR,即S-LS-SVR算 于动态过程的建模至关重要.为此，提出综合均方根 法的鲁棒性能，对式(9)中的误差项e:引入加权因子 ”,从而得到如下的优化问题： 误差和估计曲线与实际曲线相关性的模型精度多目标 评价指标. -FBbe=gls+gp'(p） 由数理统计理论可知，两个随机数据矢量X和Y, E{(X-E(X))(Y-E(Y))}称之为X与Y的协方差 s.ty=(邴)Tpx)+b+e 或者相关矩，记作Cov(X,Y),而两者的相关系数定义 (10) 为 引入拉格朗日算子之后可得 Cov(X,Y) L(B,b,e,a)=F(B,b,e)- Pxy=/D(X)D(Y) (14) ∑a,(邴)'p(x)+b+e:-y). (11) 式中，E(X)和E(Y)分别是X和Y的期望，√D(X)和 式中：α∈R为拉格朗日乘子，根据最优条件消去e和 √D(Y)分别是X和Y的方差.相关系数P是衡量数 &可得 据变量X与Y关系程度的量：lprl一l表示X和Y之 )e G)'e-Te 间的线性关系密切，lPl→0表示X和Y的相关性很 B 差；若1Pr|=1表示X和Y依概率1存在着线性关 系，而lpwl=0表示X和Y不相关. 综上所述，提出模型精度多目标评价指标如下： Fmn=N名 (15) (12) Fon=1-Px (16) 该多目标评价指标既可以保证建模过程的平稳性和限 式中，v=diag(yy2,…,y,).v由IGGl权函数回决 制输出曲线的横向偏移量，又可以保证建模过程的准 定，即： 确性和限制输出曲线的纵向偏移量. 1 leI<ks: 3.2基于NSGAⅡ的模型参数多目标优化 针对于模型精度多目标评价指标，利用NSGA-Ⅱ kg≤le:l<hg; 进行C,o参数寻优.NSGAⅡ在工程领域已得到广泛 应用@，但是存在计算复杂度高、缺少精英策略以及 0 le:l≥k2zk 需要人为制定共享参数的问题1。为此，采用改进 (13) 的NAGA一Ⅱ算法，以模型精度多目标评价指标为适应 式中：（为误差的估计标准差：k,和k2为相关系数，根 度函数，采用实数编码，通过基于进行非支配快速排序 据经验值有k,∈1,3]，k2∈B.2,6] 和拥挤距离计算的种群进行二进制锦标赛选择，模拟 二进制交叉和多项式变异的遗传因子增强种群多样 3 R-S-LS-SVR参数多目标遗传优化 性，主要计算流程如图1所示 LS-SVR经过上述稀疏化和鲁棒性改进后得到 (1)选择算子.根据非支配排序的结果，选择支 RS-LS-SVR,它有两个结构参数需要确定，分别是决 配层较低的个体，若同一支配层的个体有多个，选择拥 定离群点惩罚程度的正则项C和径向基核函数的伸 挤距离较大的个体以获得种群的多样性☒ 缩量σ.常见的模型参数确定方法有网格搜索和交叉 (2)模拟二进制交叉.由于采用实数编码，则交 验证，但这些算法效率低且易陷入局优.本文将采用 叉后代是父代的线性组合.工程科学学报，第 38 卷，第 9 期 ω = ∑ r k = 1 βkφ( xk ) = Φβ． ( 8) 将式( 3) 中的 ω 用式( 8) 替换得 min β，b F( β，b，e) = ( 1 2 γ∑ r i =1 ‖ei‖2 + ( Φβ) T ( Φβ ) ) ， s． t． yi = ( Φβ) T φ( xi ) + b + ei，i = 1，2，…， { r． ( 9) 2. 3 鲁棒改进 为了提高上述稀疏化 LS--SVＲ，即 S--LS--SVＲ 算 法的鲁棒性能，对式( 9) 中的误差项 ei 引入加权因子 νi，从而得到如下的优化问题: min β，b F( β，b，e) = ( 1 2 γ∑ r i =1 νi ‖ei‖2 + ( Φβ) T ( Φβ ) ) ， s． t． yi = ( Φβ) T φ( xi ) + b + ei { ． ( 10) 引入拉格朗日算子之后可得 L( β，b，e，α) = F( β，b，e) － ∑ r i = 1 αi ( ( Φβ) T φ( xi ) + b + ei － yi ) ． ( 11) 式中: α∈Ｒr 为拉格朗日乘子，根据最优条件消去 e 和 α 可得 ΦT ∑ r i =1 φ( xi ) φ ( xi ) T Φ － 1 γν ΦT Φ ΦT ∑ r i =1 φ( xi ) ∑ r i =1 φ( xi ) ΦT          N  · β [ ] b = ΦT ∑ r i = 1 yiφ( xi ) ∑ r i = 1 y          i  ( 12) 式中，ν = diag( ν1，ν2，…，νr ) ． ν 由 IGGIII 权函数［9］决 定，即: νi = 1， |ei | ＜ k1 ζ; k1 ζ ei ( k2 － ei ζ k2 － k1 ) 2 ， k1 ζ≤|ei | ＜ k2 ζ; 0， |ei | ≥k2 ζ        ． ( 13) 式中: ζ 为误差的估计标准差; k1 和 k2 为相关系数，根 据经验值有 k1∈［1，3］，k2∈［3. 2，6］． 3 Ｒ--S--LS--SVＲ 参数多目标遗传优化 LS--SVＲ 经过上述稀疏化和鲁棒性改进后得到 Ｒ--S--LS--SVＲ，它有两个结构参数需要确定，分别是决 定离群点惩罚程度的正则项 C 和径向基核函数的伸 缩量 σ． 常见的模型参数确定方法有网格搜索和交叉 验证，但这些算法效率低且易陷入局优． 本文将采用 基于非支配排序的带有精英策略的多目标优化算法 ( NSGA--II) 对 C 和 σ 进行优化计算，从而得到最终的 NSGAII--Ｒ--S--LS--SVＲ 的模型． 3. 1 模型精度多目标评价 参数遗传优化的首要任务是构建性能指标作为适 应度函数． 常见的建模性能指标大多采用均方根误差 ( ＲMSE) ，未从整体上考虑模型输出曲线与实际曲线 的接近程度和动态趋势． 实际上，准确的变化趋势对 于动态过程的建模至关重要． 为此，提出综合均方根 误差和估计曲线与实际曲线相关性的模型精度多目标 评价指标． 由数理统计理论可知，两个随机数据矢量 X 和 Y， E{ ( X － E( X) ) ( Y － E( Y) ) } 称之为 X 与 Y 的协方差 或者相关矩，记作 Cov( X，Y) ，而两者的相关系数定义 为 ρXY = Cov( X，Y) 槡D( X) 槡D( Y) ． ( 14) 式中，E( X) 和 E( Y) 分别是 X 和 Y 的期望，槡D( X) 和 槡D( Y) 分别是 X 和 Y 的方差． 相关系数 ρXY是衡量数 据变量 X 与 Y 关系程度的量: | ρXY | →1 表示 X 和 Y 之 间的线性关系密切，| ρXY | →0 表示 X 和 Y 的相关性很 差; 若| ρXY | = 1 表示 X 和 Y 依概率 1 存在着线性关 系，而| ρXY | = 0 表示 X 和 Y 不相关． 综上所述，提出模型精度多目标评价指标如下: FCEI1 = 1 N ∑ N i = 1 e 2 i ， ( 15) FCEI2 = 1 － ρXY ． ( 16) 该多目标评价指标既可以保证建模过程的平稳性和限 制输出曲线的横向偏移量，又可以保证建模过程的准 确性和限制输出曲线的纵向偏移量． 3. 2 基于 NSGA--II 的模型参数多目标优化 针对于模型精度多目标评价指标，利用 NSGA--II 进行 C，σ 参数寻优． NSGA--II 在工程领域已得到广泛 应用［10］，但是存在计算复杂度高、缺少精英策略以及 需要人为制定共享参数的问题［11--14］． 为此，采用改进 的 NAGA--II 算法，以模型精度多目标评价指标为适应 度函数，采用实数编码，通过基于进行非支配快速排序 和拥挤距离计算的种群进行二进制锦标赛选择，模拟 二进制交叉和多项式变异的遗传因子增强种群多样 性，主要计算流程如图 1 所示． ( 1) 选择算子． 根据非支配排序的结果，选择支 配层较低的个体，若同一支配层的个体有多个，选择拥 挤距离较大的个体以获得种群的多样性［12］． ( 2) 模拟二进制交叉． 由于采用实数编码，则交 叉后代是父代的线性组合． ·1236·