2 于是a1=1a2=0为原方程组的一个基础解系。 §4非齐次线性方程组解的结构 结构定理 a1x1+a12x2 若一般线性方程组x+a2x2+…+a2=b2 an1xX1+anx+…+ 中的b2b2…bn不全为0,(1)称为非齐次组。 a1x+a2x2+…+anxn=0 若b=b2=…=bn=0即 21x1+a2x2+…+a2nxn=0 (2) 称为(1)对应的齐次组(或导出组) (1)、(2)分别用向量式写为:Aa=B(3)和Aa=0 (4) 其中A b2 B 关于非齐次组解的结构有以下定理 定理:设α是方程(1)的某一特定解向量(称为特解),α1…,an,是导 出组(2)的一个基础解系,则方程组(1)的通解(一般解或全部解)为 a=a+ka1+k2a2+…+kn,a 其中r=R( 证:首先Aa=Aa0+ka1+k2a2+…+kn,an) +k1Aa1+k2Aa2+…+k B+k,8 8=B 所以,(5)是(3)的解,即(1)的解向量于是 1 =                 − 0 0 1 2 1  2 =                 − 0 1 0 3 2 为原方程组的一个基础解系。 §4 非齐次线性方程组解的结构 一、结构定理 若一般线性方程组        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1） 中的 b b bm , , , 1 2  不全为 0，（1）称为非齐次组。 若 b1 = b2 == bm = 0 即        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     （2） 称为（1）对应的齐次组（或导出组） （1）、（2）分别用向量式写为：  =  （3）和  = （4） 其中                = m m mn n n a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 ，               = n x x x  2 1  ，               = mb b b  2 1  ， m               = 0 0 0   关于非齐次组解的结构有以下定理 定理： 设  0 是方程（1）的某一特定解向量（称为特解），  n−r , , 1  是导 出组（2）的一个基础解系，则方程组（1）的通解 （一般解或全部解）为 n r n r k k k  =0 + 11 + 22 ++ −  − （5） 其中 r = R(A)。 证： 首先 ( ) 0 1 1 2 2 n r n r A A k k k  =  +  +  ++ −  − = n r A n r A k A k A k 0 + 1 1 + 2 2 ++ −  − =  + k1 +kn−r =  所以，（5）是（3）的解，即（1）的解向量